老師，我為什么算得這么慢
——集合篇

江蘇省蘇州中學 王思儉

考試結(jié)束，幾位同學圍在一起，七嘴八舌討論：

我對于含有字母的運算，幾乎都是空手而歸；

我的運算速度一直很慢，肯定是我的運算方法不當；

涉及復(fù)雜的運算，我往往無從下手，猶如在十字路口不知選擇哪條路；我平時也刷了不少題目，但一遇到陌生題就不知所措，心里緊張，運算特別慢；

老師在課堂上講的方法和運算步驟，我都能看得懂，但一輪到自己上場就不敢運算，唯恐出錯，導(dǎo)致運算的速度特別慢；

……

為此，我邀請幾位同學就“高考中集合的運算問題”進行專題交流，探索并積累“高考中集合問題運算策略”，旨在提高學生的運算能力、分析問題和解決問題的能力，學會創(chuàng)造性地解決情景新穎的問題，提升自己的數(shù)學素養(yǎng).

我的解法就是聯(lián)立兩個方程，用求根公式.

即

在區(qū)間［0，3］有解.

首先，判別式Δ＝（m＋1）2-4≥0，解之得m ≤-3或m ≥1.此時方程（*）的解為要使A∩B≠?，則x1，x2至少有一個在［0，3］內(nèi)，即等價轉(zhuǎn)化為兩個不等式組

這兩個不等式組求解太繁瑣了，我放棄了.

生乙：需要兩邊同時平方轉(zhuǎn)化為新的一元二次不等式組，解①得解②得所以m ≤-3.故m 的取值范圍為（-∞，-3］.

教師：答案是正確的，這是從方程的觀點出發(fā)，轉(zhuǎn)化為解無理不等式組，但太繁了，運算量超大的.在平方的時候，你們一定需要分類討論，如m＋1和m＋7的正負零的討論.還有其他方法嗎？

生丙：我是利用二次函數(shù)圖象分析法，分方程（*）在［0，3］內(nèi)有一解、兩解.若在［0，3］內(nèi)有一解時，設(shè)f（x）＝x2＋（m＋1）x＋1，Δ＝0或者f（0）f（3）＜0，得或m＝-3或m＝1（舍），但f（3）＝0，即合適.

若在［0，3］內(nèi)有兩解時，其充要條件為Δ＞0且f（3）＞0且f（0）＞0且對稱軸滿足解之得綜上所述，m 的取值范圍為m ≤-3.

教師：很好！運用函數(shù)的觀點，充分利用二次函數(shù)圖象的直觀想象，這就是數(shù)學運算的策略的選擇比較恰當，因此，運算就簡潔許多.還有什么策略？

生?。航由椎慕夥?，直接分類討論x1，x2的符號，

（1）當m≥1時，x1＋x2＝-（m＋1）＜0，且x1x2＝1＞0，因此x1＜0且x2＜0，這與方程在［0，3］內(nèi)有解矛盾，所以m ≥1不合適.

（2）m ≤-3時，x1＋x2＝-（m＋1）＞0，且x1x2＝1＞0，因此x1，x2均為正數(shù)，且互為倒數(shù)，所以必有一個在區(qū)間（0，1］，故m≤-3符合題意.所以m 的取值范圍為m≤-3.

教師：很好！他是利用設(shè)而不求的策略，這是求解數(shù)學問題常用的策略，這就要求你們要學會思考，具體問題具體分析，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征擬定相應(yīng)的解題策略.還有不同的策略嗎？

生戊：分離變量法求解，首先x＝0不是方程（*）的解，因此只考慮0＜x ≤3，于是利用基本不等式法，得當且僅當x＝1時等號成立，所以，函數(shù)的值域為（-∞，-3］，故m 的取值范圍為m ≤-3.

教師：漂亮！美哉！簡潔明了，答案正確！還有什么解法？

生甲：導(dǎo)數(shù)法，作與直線l：y＝3-x平行且與拋物線y＝x2＋mx＋4相切的直線，設(shè)切點（x0，y0），由切線的斜率為-1，得2x0＋m＝-1，因此.要使A∩B≠?，必有y0≤3-x0，即x20＋mx0＋4≤3-x0，將x0代入化簡，得m2＋2m-3≥0，解之得m ≤-3，或m ≥1.但這樣做下來，多了一解，不知道如何舍去？

教師：請你思考一下，如果拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，那么拋物線與線段的交點還會在［0，3］上嗎？

生甲：結(jié)合拋物線圖象分析，其對稱軸必在y軸右側(cè)，即m ＜0，所以m ≥1應(yīng)該舍去.故m ≤-3.

教師：在選擇運算策略時，一定要結(jié)合圖形的幾何直觀，確定具體的策略.本題給出5種不同的解法，由于選擇運算的方法不同，因此運算的簡繁程度各不相同，解法四較簡單且為通法.方法一是最基本的解法，但運算較繁瑣，需要具有很好的毅力；方法二是常用的二次函數(shù)圖象分析法，屬于通法，也是需要分類討論，運算量也是很大的，而且容易漏解；解法三是通性通法，但只適用于容易舍去一部分的類型；解法四將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解，適用于容易分離參變量的類型；解法五是利用導(dǎo)數(shù)求解，只適用于可以求導(dǎo)的問題.因此，在進行數(shù)學運算時，要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征選用恰當合理的解法，要迅速簡潔地求出正確結(jié)果.

生丙：因為A∩B≠?，因此方程組在x∈［0，3］內(nèi)有解，即等價轉(zhuǎn)化為方程x3＋（m＋1）x＋2＝0在x∈［0，3］有解.因為x＝0不是解，所以利用分離變量法，得于是轉(zhuǎn)化為函數(shù)在x ∈（0，3］上的值域.利用導(dǎo)數(shù)法求解，討論，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當1＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.所以，當x＝1時，函數(shù)f（x）有極大值也是最大值，因此（f（x））max＝f（1）＝-4，又當時，f（x）→-∞，所以m ≤-4.

教師：很好！丙同學直接選用分離變量的策略求解.

生乙：因為A ∩B ≠?，因此問題等價轉(zhuǎn)化為直線x＋y-3＝0與圓（x-a）2＋（y-4）2＝2有公共點，于是，圓心到直線的距離d≤r，即解之得-3≤a≤1.

生甲：直線段x＋y-3＝0（x∈［0，3］）與此圓的下半圓有公共點，即聯(lián)立方程，得

判別式Δ＝4（a-1）2-8（a2-1）≥0，解之得-3≤a≤1.

教師：請你們檢驗，當a＝-3時，是否合適？

生乙：經(jīng)過畫圖分析，不合適，看來范圍還要進一步縮小.怎么縮??？

生?。豪枚魏瘮?shù)圖象分析法求解，既要考慮判別式Δ≥0，又要分方程在區(qū)間［0，3］內(nèi)有一解、兩解的情況.令f（x）＝2x2-2（a-1）x＋a2-1，于是方程有一解時f（0）f（3）≤0，或者方程有兩解時Δ≥0且f（0）≥0且f（3）≥0且0＜a-1＜3，第一種情況解得-1≤a≤1，而第二種情況無解.所以，a的取值范圍為-1≤a≤1.

生丙：利用幾何直觀求解，線段的兩個端點為（0，3）和（3，0），根據(jù)題意，當一個端點在圓內(nèi)或圓上時，有A ∩B ≠?，因此，a2＋1≤2，即-1≤a≤1.

生戊：但也要注意的是集合B 中元素是在下半圓上的，而動圓的圓心為（a，4）在線段的上方，而半徑為，因此只要線段的端點（0，3）在圓內(nèi)或圓上就可以了.

生?。哼€應(yīng)該考慮線段與半圓有公共點時的情況，這樣才算嚴謹.此時d ≤r，解出-3≤a≤1，最后得-1≤a≤1.

教師：正確！既要重視幾何直觀想象，又要運用數(shù)形結(jié)合思想，這樣才是嚴謹?shù)?

生戊：利用函數(shù)思想求解，因為A ∩B ≠?，因此，方程組在區(qū)間［0，π］上有解，于是問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在［0，π］上的值域.令f（x）＝x＋其導(dǎo)數(shù)為經(jīng)過討論知時，f（x）有最大值為所以，函數(shù)的值域為故m 的取值范圍為

教師：很好！不僅答案正確，而且思路清晰，策略得當，過程簡潔.如何提高運算速度，就集合的運算而言，要從四個方面做起：

1.集合的概念要清晰，如集合中的元素特征是什么，集合之間的關(guān)系是什么等；

2.算理、運算法則要熟悉，如集合的交集、并集和補集運算法則是什么；

3.選擇恰當策略，如運算的策略是否恰當，是否為通性通法，哪種方法最優(yōu)，過程是否簡潔明了等；

4.給出正確結(jié)果，如集合的表示是否正確？“且”“或”“包含于”“包含”等用法是否恰當?shù)?

只要堅持做到這些，那么集合運算的速度一定會大大提高，同時數(shù)學素養(yǎng)也會得到提升.

實戰(zhàn)演練

1.已知集合A＝｛x|x2＋ax＋2＝0，x∈R｝，B＝｛x|x2-2x≤0｝，若A∩B≠?，求a的取值范圍.

2.（變題）已知集合A＝｛x|ax2＋2x-1＝0，x∈R｝，B＝｛x|2x2-5x＋2≤0｝，若A ∩B ≠?，求a的取值范圍.

參考答案

解析

1.因為A ∩B≠?，而集合B＝［0，2］，因此問題轉(zhuǎn)化為方程x2＋ax＋2＝0，x∈［0，2］有解，但x ＝0不是其解，于是利用分離變量法得，在（0，2］上的值域.由基本不等式得當且僅當時等號成立，因此所以a的取值范圍為

3.問題等價轉(zhuǎn)化為方程x2＋2（kx＋b）2＝2，即（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2-2＝0對一切實數(shù)k都有解，因此判別式Δ＝16k2b2-8（1＋2k2）（b2-1）≥0對一切實數(shù)k恒成立，即b2≤2k2＋1恒成立，所以b2≤（2k2＋1）min＝1，所以，-1≤b≤1.

另解：幾何直觀法，直線y＝kx＋b在y軸上的截距為b，即過點（0，b），當點（0，b）在橢圓內(nèi)部或橢圓上時，A ∩B ≠?，所以-1≤b≤1.