由一道函數(shù)題的錯解引發(fā)的探索和思考

毛雨萱

一、問題與背景

在復習導數(shù)在函數(shù)與方程中的應用時，老師給我們布置了這樣一道習題：

已知函數(shù)f（x）＝kx，，求方程f（x）＝g（x）在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)．

這道題求解的方法我們都很明確：利用導數(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，利用圖象數(shù)形結合求解．但是，在具體操作時，不同的處理方法，得出了大相徑庭的結果，一時間我們都感到有點奇怪和不解．

二、思路與解法

我的解題思路是參變分離：

由 方程f（x）＝g（x），得

于是，h（x）在上單調遞增，在上單調遞減，且于是由圖1得：

圖1

同學的思路也是參變分離：

函數(shù)g（x）在上的近似圖象如圖2所示，

于是直線OA斜率直線OB斜率kOB＝－e2，

圖2

三、質疑與探索

我和同學的解法都是將方程的根轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點來判斷，這是求解有關函數(shù)零點個數(shù)（方程解的個數(shù)）問題的通法，看起來都有理有據(jù)，但結果卻迥然不同，孰對孰錯？錯在哪里呢？

我和同學們展開探究和討論．我的解法是將問題轉化為函數(shù)y＝k與的圖象的交點個數(shù)來判斷．水平直線y＝k與的圖象的交點，根據(jù)的單調性，容易結合圖象作出判斷，我的解法應該是正確的．而同學的解法是斜線f（x）＝kx與的圖象的交點僅根據(jù)的單調性是不夠的，必須更精確地畫圖以表現(xiàn)出此函數(shù)的基本性態(tài)，我懷疑他的圖象不準確，故而借助MathPac軟件模擬了圖象，如圖3．

圖3

果然是由于g（x）的圖象不準確，解題時誤以為是k的最大值，忽視了在A點左側會因曲線向上彎曲（上凸），且曲率較大時，直線y＝kx過A點時會和曲線g（x）有另一個交點（在A點左側），此時k的最大值應在與曲線相切時取得．

經(jīng)過查閱資料和對問題的探究找到問題的根源，由同學的解法知在上是增函數(shù)，又，當時在上是上凸函數(shù)，于是我們可以作出g（x）的更精確的圖象如圖4，函數(shù)f（x）＝kx與的圖象在在內(nèi)有相切的情況．

圖4

通過分析，除了我和同學的解法之外，還獲得了一種得到全班都認可的解法，同時也解釋了上述剖析的正確性和上述錯解的根源．

令f（x）＝g（x），即即kx2＝lnx，在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝kx2和函數(shù)的圖象，如圖5．函數(shù)y＝kx2隨著k增大，圖象從開口方向向下，逐漸變化為一條直線（k＝0），再變化為開口向上，在開口向上時開口逐漸減?。虼?，圖象在從開口向下逐漸變化的過程中，首先經(jīng)過點此時k＝－e2，然后變化為一條直線y＝0，此時k＝0，當k＞0時函數(shù)y＝kx2的圖象逐漸變化到經(jīng)過點（e，1），此時與函數(shù)的圖象有兩個交點，然后變化到與函數(shù)y＝lnx的圖象只有一個交點（相切），此時，求解過程如下：

圖5

當k＜－e2時方程無解，當－e2≤k＜時方程有一解，當時方程有兩解，當時方程有一解，當時方程無解．

四、思考和感悟

從三種解法的探究和分析來看，盡管處理的方法類似，由于方法一轉化成的兩個函數(shù)中有一個是平行于x軸的直線，所以更容易操作，后兩種方法對圖形的要求則更高；同學解法的錯誤原因在于“圖形”的不準確，因為作圖太隨意，沒有把握住圖形的基本特征和關鍵點，所以作出的圖象不能準確地反映出函數(shù)的基本形態(tài)，再加上簡單處理，想當然地得出答案，這樣錯誤的發(fā)生就不足為奇了；“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微．”我們在利用數(shù)形結合思想解題時要先從數(shù)的角度研究出函數(shù)的各項性質，再畫出函數(shù)準確的圖象，這樣才能真正將數(shù)與形完美結合起來為我們所用．