換元法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

湖北省武漢市關(guān)山中學(xué) 黃格群

作為一項(xiàng)初中數(shù)學(xué)中被廣泛應(yīng)用的解題方法，換元法非常重要。換元法是指在解題過程中將試題的一個(gè)（些）字母用另外一個(gè)（些）字母來替換，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的。換元法在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著非常重要的地位，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重向?qū)W生滲透換元法的重要思想，從而幫助他們達(dá)到快速、準(zhǔn)確的解題效果。本文就以換元法典型習(xí)題為例進(jìn)行講解，希望對(duì)廣大學(xué)生有所幫助。

一、換元法在因式分解中的應(yīng)用

因式分解是初中數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一項(xiàng)有力工具。在解因式分解時(shí)，需要用新元來替換式中的某個(gè)部分，從而減少因式項(xiàng)數(shù)，最終讓復(fù)雜的因式分解變得簡(jiǎn)單。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括號(hào)，然后再進(jìn)行分解，過程會(huì)相當(dāng)煩瑣且運(yùn)算量巨大。如果我們注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則可通過換元法將復(fù)雜的情況轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題。

解答：設(shè)（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，則有：x+y+z=0，

又x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-xz）， 則 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式=x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能夠掌握換元法求解參數(shù)試題，那么數(shù)字試題就能夠輕松解答。

二、換元法求解分?jǐn)?shù)方程和無理方程

分?jǐn)?shù)方程和無理方程的難度要大于普通方程，因此需要換元法來降低方程的求解難度。

解析：本題需要從題目中的根號(hào)入手，讓根號(hào)內(nèi)外通過增減項(xiàng)變得一致，然后利用換元法將二次根式進(jìn)行替換，最終將無理方程轉(zhuǎn)換為有理方程進(jìn)行求解。

當(dāng)y=1時(shí)，即x2-3x+2=1， 解 得通過檢驗(yàn)要舍去，因此，原方程的根為

三、換元法求解高次方程

整式方程未知數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程,稱為高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，設(shè)y=2x2+1，則原方程可化為_____；

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）設(shè)y=2x2+1，則原式左邊=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化為y2-y-2=0。

（2）設(shè)x2+2x=y，則原式左邊=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y；

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

當(dāng)y=0時(shí)，則x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0；

當(dāng)y=3時(shí)，則x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解為-1，-2，0，3。

通過解題過程我們可以看到，換元法能夠有效降低方程的冪次，降低試題的難度，提升學(xué)生計(jì)算的速度和效率，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重傳授這種數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用。

四、換元法巧解方程組

學(xué)生運(yùn)用換元法求解方程組能夠有效消元，簡(jiǎn)化求解過程和步驟，從而提升解題的速度和效率。

解析：如果正常求解這個(gè)方程組，會(huì)比較麻煩。我們可以把x+y，x-y分別看為一個(gè)整體，進(jìn)行“換元”，然后再進(jìn)行方程的求解，這樣較為簡(jiǎn)單。

（2）設(shè)x+y=m，x-y=n，則原方程組可化為

通過解題過程我們可以得到，利用換元法能夠有效降低方程的運(yùn)算難度，提升解題速度，因此教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)技巧，提升數(shù)學(xué)思維和水平。

總之，數(shù)學(xué)教師在授課過程中應(yīng)當(dāng)加大訓(xùn)練的強(qiáng)度和力度，總結(jié)經(jīng)典習(xí)題的解題方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感，幫助他們?nèi)〉美硐氲姆謹(jǐn)?shù)，從而進(jìn)入心目中的高中進(jìn)行深造學(xué)習(xí)。

[1]高占芬．例析換元法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．基礎(chǔ)教育課程，2016（05）．

[2]盧春松．淺析換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（10）．