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    聚焦圓系方程在解題中的應(yīng)用

    2018-11-30 16:40:35羅文軍
    中學生數(shù)理化·高一版 2018年12期
    關(guān)鍵詞:所求切點交點

    ■羅文軍

    具有某種共同性質(zhì)的圓的集合叫作圓系,它的方程叫作圓系方程。在解圓的有關(guān)問題時,利用圓系知識來求解,往往簡潔明快,事半功倍。本文巧用圓系方程解決了一些與圓有關(guān)的題目,令人耳目一新,現(xiàn)介紹如下,以供參考。

    一、過直線與圓交點的圓系方程

    經(jīng)過直線l∶Ax+By+C=0與圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,當λ=0時表示圓C。

    例1求經(jīng)過直線x+2y-1=0與圓x2+y2+2x+8y-8=0的交點,且在兩坐標軸上的四個截距之和為8的圓的方程。

    設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x+8y-8+λ(x+2y-1)=0,即x2+y2+(2+λ)x+(8+2λ)y-8-λ=0。令y=0,得x2+(2+λ)x-8-λ=0,所以圓在x軸上的兩個截距之和為-2-λ。令x=0,得y2+(8+2λ)y-8-λ=0,所以圓在y軸上的兩個截距之和為-8-2λ。由題意得-2-λ-8-2λ=8,解得λ=-6。故所求圓的方程為x2+y2-4x-4y-2=0。

    評注:利用圓系方程求解,突出了過交點的圓隨λ變化而變化的動態(tài)過程,并且大大簡化了煩瑣的計算過程。

    變式訓練1:求經(jīng)過直線l∶2x+y+4=0與圓C∶x2+y2+2x-4y+1=0的兩個交點且面積最小的圓的方程。

    二、過圓與圓的交點的圓系方程

    經(jīng)過圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)與圓 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)的交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0。

    例2求經(jīng)過點M(2,-2)及圓∶x2+y2-6x=0與圓∶x2+y2=4交點的圓的方程。

    設(shè)所求圓的方程為x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-6x-4λ=0,將點M(2,-2)代入上式,得4(1+λ)+4(1+λ)-12-4λ=0,解得λ=1,故所求圓的方程為x2+y2-3x-2=0。

    評注:先利用經(jīng)過兩圓交點的圓系方程設(shè)出所求圓的方程,再利用待定系數(shù)法求解。

    變式訓練2:已知圓C1∶x2+y2=4,圓C2∶x2+y2-2x-4y+4=0,直線l∶x+2y=0,求經(jīng)過圓C1與圓C2的交點且和直線l相切的圓的方程。

    三、半徑相等的圓系方程

    半徑相等的圓系方程為(x-a)2+(yb)2=r2,其中r為常數(shù),a,b為參數(shù)。

    例3已知圓C與直線y=x+5和y=x-7均相切,且過點(2,1),則圓C的方程為

    評注:先由兩點間的距離公式計算出兩平行線間的距離,從而得出圓的直徑;再得出所求圓心的軌跡方程;最后設(shè)出所求圓的標準方程,根據(jù)待定系數(shù)法求解。

    變式訓練3:已知圓C與直線y=x-均相切,且過點則圓C的方程為

    四、同心圓系方程

    與圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F1=0。

    例4求與圓x2+y2-4x+6y-3=0同心,且過點(-1,1)的圓的方程。

    設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x+6y+m=0,將點(-1,1)代入上述方程,可得m=-12。故所求圓的方程為x2+y2-4x+6y-12=0。

    評注:先設(shè)出與已知圓同心的圓的方程,再代入所求圓上一點的坐標,求出其中的參數(shù)值即可得到所求圓的方程。

    變式訓練4:求與圓x2+y2-2x+10y+25=0同心,且過點(2,2)的圓的方程。

    五、過給定兩點的圓系方程

    經(jīng)過點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的圓系方程為(x-x1)(x-x2)+

    例5求經(jīng)過點A(4,2),B(-1,3)且在兩坐標軸上的四個截距之和為2的圓的方程。設(shè)所求圓的方程為(x-4)(x+1)+(y-2)(y-3)+0。令y=0,整理可得5x2-(15+λ)x+10+14λ=0,此時圓在x軸上的截距之和為x1+。令x=0,整理可得5y2-5(5+λ)y+10+14λ=0,此時圓在y軸上的截距之和為y1+y2=5+λ。由題設(shè)可知x1+x2+y1+y2=,解得λ=-5。故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0。

    評注:先根據(jù)經(jīng)過給定兩點的圓系方程設(shè)出所求圓的方程,再根據(jù)韋達定理分別計算橫軸上的截距之和與縱軸上的截距之和,計算出參數(shù)λ的值,從而得出所求圓的方程。

    變式訓練5:求經(jīng)過A(3,6),B(2,5)兩點,且與直線4x-3y+6=0相切的圓的方程。

    六、過已知直線與圓或圓與圓切點的圓系方程

    經(jīng)過圓C與圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D21+E21-4F1>0)的切點N(x0,y0)的圓系方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)=0。經(jīng)過圓C與直線l∶Ax+By+C=0的切點N(x0,y0)的圓系方程為 (x-x0)2+(yy0)2+λ(Ax+By+C)=0。

    例6一圓與直線3x+4y+5=0相切于點(1,-2),且過點(4,7),求該圓的方程。

    過切點(1,-2)的圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=0。設(shè)過直線3x+4y+5=0和點(1,-2)的圓系方程為(x-1)2+(y+2)2+λ(3x+4y+5)=0,將點(4,7)代入上述方程,解得λ=-2。故所求圓的方程為x2+y2-8x-4y-5=0。

    評注:切點(1,-2)可以看成半徑為0的圓(即點圓),直線3x+4y+5=0可看成通過該圓的直線,基于這種極端的想法,此題可以跳出設(shè)圓的方程的一般方法,利用圓系方程求解,更簡單便捷。

    變式訓練6:求經(jīng)過點M(3,-1)且與圓C∶x2+y2+2x-6y+5=0相切于點N(1,2)的圓的方程。

    變式訓練參考答案

    1.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0。該圓的半徑為,所以當時,半徑r最小,即此圓的面積最小。將代入圓系方程,得所求圓的方程為

    2.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0,其圓心坐標為半 徑 為,依 題意可得解 得λ=1(λ=-1不合題意,舍去)。故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0。

    4.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+10y+m=0,因為所求圓過點(2,2),故將此點坐標代入上述方程,可得m=-24。故所求圓的方程為x2+y2-2x+10y-24=0。

    5.提示∶設(shè)所求圓的方程為(x-3)(x-2)+(y-6)(y-5)+整理可得x2+y2-(λ+5)x+(λ-11)y+36-3λ=0,可知圓心坐標為半徑為由點到直線的距離公式可得整理得(λ+7)2=0,解得λ=-7。故所求圓的方程為x2+y2+2x-18y+57=0。

    6.提示∶設(shè)過切點N(1,2)的圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=0,則所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0,將點M(3,-1)代入上述方程,解得。故所求圓的方程為

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