例談直線(xiàn)與圓的最值問(wèn)題

■藍(lán)云波

解析幾何中的直線(xiàn)與圓是高考的核心考點(diǎn)，其中，涉及直線(xiàn)與圓的最值問(wèn)題，考查頻率頗高，命題靈活，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富。因此，這部分內(nèi)容一直以來(lái)都是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。為幫助同學(xué)們提高學(xué)習(xí)效率，解決這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，下面以直線(xiàn)與圓關(guān)系的典型例題為例，來(lái)談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題的解決方法。

例1 分別過(guò)點(diǎn)A(1，3)和點(diǎn)B(2，4)的直線(xiàn)l1和l2互相平行，且有最大距離，則l1的方程是

(圖略)當(dāng)直線(xiàn)l1與l2分別與線(xiàn)段AB垂直時(shí)，直線(xiàn)l1與l2之間有最大距離，且，此時(shí)kAB=，所以k=-1。故l的方程為yl113=-(x-1)，即x+y-4=0。

發(fā)現(xiàn)兩條直線(xiàn)的臨界位置是解答本題的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)后再利用斜率公式和直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解。

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1∶kx-y+2=0與直線(xiàn)l2∶x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)xy-4=0的距離也隨之變化，則距離變化的最大值為

由題意得直線(xiàn)l1的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)A(0，2)，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)B(2，0)，且直線(xiàn)l1⊥l2，所以點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓C上，其中，圓心坐標(biāo)為C(1，1)，半徑為r=。則圓心到直線(xiàn)x-y-4=0的距離為，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)x-y-4=0的最大距離為d+r=

發(fā)現(xiàn)兩條直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且兩條直線(xiàn)互相垂直的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上利用圓的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解。

例3已知兩點(diǎn)A(0，-3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最小值為

如圖1，過(guò)圓心C向直線(xiàn)AB作垂線(xiàn)交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最小。

圖1

面積問(wèn)題的求解是解析幾何中的一大熱點(diǎn)。通過(guò)分析本題我們發(fā)現(xiàn)三角形中的AB邊為定值，故只需求出此邊上的高的最小值，再利用數(shù)形結(jié)合思想，不難實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

例4已知圓C1∶(x-2)2+(y-3)2=1，圓C2∶(x-3)2+(y-4)2=9，M，N 分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

畫(huà)出簡(jiǎn)圖，如圖2。

圖2

☉C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的☉C1'的圓心C1'為(2，-3)，半徑仍為1，☉C2的圓心為(3，4)，半徑為3。設(shè)點(diǎn)M'為點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由圖2可知，，且當(dāng)C2，M'，P，N，C'1在同一條直線(xiàn)上時(shí)取得最小值，記為又因?yàn)樗缘淖钚≈禐?2-4。

此題是解析幾何中的經(jīng)典題型，解答時(shí)通過(guò)數(shù)形結(jié)合，把多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題化歸為定點(diǎn)問(wèn)題，具有較強(qiáng)的靈活性。

例5已知P是直線(xiàn)kx+4y-10=0(k＞0)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C∶x2+y2-2x+4y+4=0的兩條切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，若四邊形PACB的面積的最小值為2，則k的值為

由題意可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=1，則圓心C為(1，-2)，半徑為1。由題意知直線(xiàn)與圓相離，如圖3所示，S四邊形PACB=S△PAC+S△PBC，而又因?yàn)?，所以取最小值時(shí)，S△PAC=S△PBC取得最小值，此時(shí)，CP垂直于直線(xiàn)kx+4y-10=0。因?yàn)樗倪呅蜳ACB面積的最小值為，所以，所 以。又因?yàn)閗＞0，所以k=3。

圖3

本題是與切線(xiàn)相關(guān)的直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)分析將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)上的點(diǎn)與圓心的最值問(wèn)題。

例6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為(0，3)，直線(xiàn)l∶y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)l上。若圓C上存在點(diǎn)M使得則圓心C的橫坐標(biāo)a的最大值與最小值之和為

因?yàn)閳A心在直線(xiàn)l上，所以可將圓心C設(shè)為(a，2a-4)，則圓C的方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1。設(shè)點(diǎn)M為(x，y)，因?yàn)樗裕?jiǎn)得x2+y2+2y-3=0，即x2+(y+1)2=4，所以點(diǎn)M在以點(diǎn)D(0，-1)為圓心，2為半徑的圓上。因?yàn)辄c(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則，即由≥1，得5a2-12a+8≥0，解得a∈R。由，得5a2-12a≤0，解得所以圓心C的橫坐標(biāo)a的最大值與最小值之和為

本題以阿波羅尼斯圓為背景，考查了圓與圓的位置關(guān)系，這一命題特點(diǎn)凸顯了近年來(lái)高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)——以數(shù)學(xué)文化為背景考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這一點(diǎn)應(yīng)引起大家足夠的重視。

例7已知點(diǎn)P(x，y)在圓C∶x2+y2-6x-6y+14=0上。

(2)求x+y的最大值與最小值。

(3)求x2+y2的最大值與最小值。

(1)方程C∶x2+y2-6x-6y+14=0可變形為(x-3)2+表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，顯然當(dāng)PO(O為原點(diǎn))與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，如圖4所示。

圖4

設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx，即kx-y=0，由圓心C(3，3)到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，可得，解得所以的最大值為最小值為

(2)設(shè)x+y=b，則b表示動(dòng)直線(xiàn)y=-x+b在y軸上的截距，顯然當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)y=-x+b與圓(x-3)2+(y-3)2=4相切時(shí)，b取得最大值或最小值，如圖5所示。

圖5

由圓心C(3，3)到切線(xiàn)x+y=b的距離等于圓的半徑，可得，即，解得所以x+y的最大值為6+22，最小值為6-22。

(3)x2+y2可表示為，其幾何意義為圓C上一點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離d的平方，顯然(r為圓C的半徑)。因?yàn)?，所以，所?32-2)2≤，即所以x2+y2的最大值為最小值為

本題是一道直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題，三個(gè)問(wèn)題所求的表達(dá)式均具有較強(qiáng)的幾何意義，分別以斜率、截距、距離的平方為背景進(jìn)行命題的構(gòu)建，是一道兼具知識(shí)與能力的好題。

例8已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線(xiàn)l∶被圓M所截得的弦長(zhǎng)為3，且圓心M在直線(xiàn)l的下方。

(1)求圓M的方程。

(2)設(shè)點(diǎn)A 為(0，t)，點(diǎn)B為(0，t+6)，其中-5≤t≤-2，若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC面積S的最大值和最小值。

(1)設(shè)圓心 M 為(a，0)，由已知得圓心M到直線(xiàn)l的距離，所以又因?yàn)閳A心M在直線(xiàn)l的下方，所以8a-3＞0，所以8a-3=5，解得a=1。故圓M的方程為(x-1)2+y2=1。

(2)設(shè)直線(xiàn)AC的斜率為k1，直線(xiàn)BC的斜率為k2，則直線(xiàn)AC的方程為y=k1x+t，直線(xiàn)BC的方程為y=k2x+t+6。由方程組得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為xC=因?yàn)樗許=因?yàn)閳AM與直線(xiàn)AC相切，所以，解得同理可得所以k-k=12，所以因?yàn)?5≤t≤-2，所以-2≤t+3≤1，所以-8≤t2+6t+1≤-4，所以Smax=

本題具有較大的運(yùn)算量，解題中利用了輪換思想，這種思想在解析幾何中具有較強(qiáng)的通性通法。通過(guò)面積表達(dá)式的求解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，這是解析幾何的命題熱點(diǎn)。