求解圓方程的幾種常見(jiàn)策略

■張志雄

在圓的方程中，需要三個(gè)獨(dú)立的條件，利用待定系數(shù)法或三個(gè)方程所組成的方程組，解得待定系數(shù)的值，即可求得圓的方程。

一、已知三點(diǎn)求圓的方程

例1在平面直角坐標(biāo)系中，求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)的圓的方程。

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求得圓心與半徑，即得圓的方程。或者，設(shè)圓的一般方程，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得圓的方程。

解：(方法1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形(圖略)。

結(jié)合圖形可知，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)的圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1，則該圓的方程為(x-1)2+y2=1。

(方法2)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+解得D=-2，E=F=0。故所求圓的方程為x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1。

上述兩種解法各有利弊。方法1是利用數(shù)形結(jié)合法求解的，方法2是利用代數(shù)法求解的。

二、已知圓心位置求圓的方程

例2已知圓M與直線(xiàn)x-y=0及xy+4=0都相切，圓心在直線(xiàn)y=-x+2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為

分析：根據(jù)圓心在直線(xiàn)y=-x+2上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用題設(shè)條件，求出圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，即得圓的方程。

解：由圓心在y=-x+2上，可設(shè)圓心為(a，2-a)。因?yàn)閳AM與直線(xiàn)x-y=0及x-y+4=0都相切，所以圓心到直線(xiàn)xy=0的距離等于圓心到直線(xiàn)x-y+4=0的距離，即解得a=0，可得圓心坐標(biāo)為(0，2)，半徑r=2。故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=2。

根據(jù)條件利用待定系數(shù)法以及圓與直線(xiàn)相切的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵。

三、圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程

例3圓(x+2)2+y2=5關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的圓的方程為

分析：圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，其實(shí)是圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，求出圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可得解。

解：已知圓的圓心坐標(biāo)為(-2，0)，則圓心關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)。

故圓(x+2)2+y2=5關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的圓的方程為x2+(y+2)2=5。

求出圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵。

四、已知直線(xiàn)與圓相交求圓的方程

例4已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，截直線(xiàn)x-9y+41=0所得的弦長(zhǎng)為 82，則圓C的方程為

分析：利用直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)求出圓的半徑，從而求出圓的方程。

解：由題意可得圓心C(0，0)到直線(xiàn)x-9y+41=0的距離為所以圓C的半徑故所求圓C的方程為x2+y2=41。

本題主要利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求出圓的方程。這類(lèi)問(wèn)題往往需要借助半徑r、弦心距d以及半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)行求解。