聚焦與圓有關(guān)的軌跡問題

■喬國穎 張文偉

直線與圓的問題中，經(jīng)常出現(xiàn)與圓有關(guān)的軌跡問題，下面就與圓有關(guān)的軌跡問題進(jìn)行歸類整理，以方便同學(xué)們掌握這類題型的解題方法與技巧。

一、直接法

直接法求軌跡方程的基本步驟是∶建系設(shè)點(diǎn)，列出條件，代入坐標(biāo)，整理化簡，限制說明。

例1已知線段AB和動(dòng)點(diǎn)C，若，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程。

解：以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)。

設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x，y)。

故所求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是(x-6)2+y2=32。

評(píng)析:在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足則當(dāng)λ＞0且λ≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓。

二、幾何法(定義法)

利用題中所給的幾何特征判斷出軌跡是一個(gè)圓，再根據(jù)圓的定義求出軌跡方程。

例2已知兩定點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)，過點(diǎn)A，B分別作兩條直線l1和l2，直線l1和l2的斜率分別是k1和k2，若k1·k2=-1，求直線l1和l2的交點(diǎn)M的軌跡方程。

解：因?yàn)閗1·k2=-1，所以l1⊥l2，可得∠AMB=90°，可知點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上。

因?yàn)閗1·k2=-1，可知k1和k2都存在，所以M點(diǎn)不能和A，B兩點(diǎn)重合，故點(diǎn)M的軌跡方程為(x-3)2+y2=4(y≠0)。

評(píng)析:幾何法是求圓的方程的常用方法，即通過所給條件的幾何特征，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，再來確定圓心和半徑，從而求出圓的方程。

三、已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)

已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，求與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程也是常見的題型，這類問題的解法相對(duì)比較固定，都是尋找所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求解的。

例3已知點(diǎn)P(4，0)與圓O∶x2+y2=9，Q是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：設(shè)PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)。

又因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在圓O上，所以，即得(2x-4)2+(2y)2=9，整理可得

故PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2

評(píng)析:已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，這時(shí)要設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為(x0，y0)，所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，用x，y表示出x0，y0是解題的關(guān)鍵。

四、已知圓上有兩動(dòng)點(diǎn)

這類問題一般是尋找這兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)，借助圓心與弦的中點(diǎn)的連線和弦垂直，找出半徑和弦長之間的關(guān)系。

例4已知☉O∶x2+y2=9，A(3，0)是☉O上的一個(gè)定點(diǎn)，B(-1，2)為☉O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P，Q為☉O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

(1)求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程。

(2)若PB⊥BQ，求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡方程。

解：設(shè)中點(diǎn) M(x，y)，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=9上，所以+=9，即得(2x-3)2+(2y)2=9，整理可得

(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)。

因?yàn)镻B⊥BQ，所以△PBQ是直角三角形。

又因?yàn)镹是Rt△PBQ斜邊的中點(diǎn)，所以|PN|=|BN|。

由O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可知ON⊥PQ，如圖1所示。

圖1

評(píng)析:解答本題的關(guān)鍵是借助△PBQ是直角三角形，找出半徑和弦長之間的關(guān)系。

編者注：本文系2018年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《高中階段國際班教學(xué)與管理策略研究》研究成果，項(xiàng)目編號(hào)∶JCJYC18250241。