一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應用

四川省資陽市雁江區(qū)第二中學 肖學兵

一、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的研究意義

針對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識點，數(shù)學新課程標準限定其為了解的知識，但是隨著學生不斷深入地學習，很多數(shù)學內(nèi)其具有的邏輯知識能夠全面提升學生的綜合素質(zhì)，能夠幫助學生通過學習數(shù)學知識，建立邏輯思維能力，特別是一元二次方程的根x1，x2…xn與系數(shù) a0，a1…an之間的數(shù)量關(guān)系，又因為其是韋達定理在 n=2 時的特例，所以，通過學習和掌握簡單的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對后續(xù)學習韋達定理的幫助不言而喻。

教師在教學過程中，針對初中數(shù)學教學，要不斷培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯思維能力，通過加深對數(shù)學知識的認識，能夠使其更加靈活地解決許多問題，特別是初中階段的數(shù)學是對高中數(shù)學的遞進。針對一元二次方程的學習，要深入探究根與系數(shù)的關(guān)系，掌握好這個內(nèi)容，才能更好地解決相關(guān)問題，使得學生的解題思路更加靈活，能夠使得學生進一步理解數(shù)學知識。一元二次方程知識的部分內(nèi)容是一個非常重要的知識點，有著承上啟下的作用。因此，教師要重視教育教學工作，更應該倍加重視“根”與“系數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系，將“根”與“系數(shù)”的知識進行拓展，深入研究好相關(guān)知識，才能促進學生素質(zhì)能力的提升。

二、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應用

在初中數(shù)學中，雖然一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是選學的內(nèi)容，但是很多知識點頻繁出現(xiàn)，很多該部分的知識點在競賽及中考題中頻繁出現(xiàn)。學生在學習的過程中很多內(nèi)容涉及該題目，但是由于學生在解題的過程中難以理解很多隱藏條件，使得學生的解題思路閉塞，或者解題方法出現(xiàn)傳統(tǒng)模式的局限，學生的解題思路不夠明確。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系能夠廣泛地拓寬學生的思路，根據(jù)已經(jīng)知道的一元二次方程的一個根，求出另一個根及未知系數(shù)，構(gòu)造兩個實數(shù)為根的一元二次方程，不解方程而判斷兩根的性質(zhì)，解決有關(guān)綜合問題等。

研究一元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為 x1，x2，那么，通過對該公式的了解以及一元二次方程根的判別式，逐步構(gòu)造一個一元二次方程，注意討論二次項的系數(shù)，本文就列舉了以下作為實際應用案例，例如：已知實數(shù) x、y、z 滿足（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，求證：x+y=2z 。該題的解析如下：根據(jù)題設(shè)內(nèi)容，如（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 的左邊，再與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac比較，可構(gòu)造一個關(guān)于 m 的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0，該方程的 =b2-4ac=（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以這個一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。當y-z≠0 時，因為一元二次方程的各項系數(shù)之和為零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 的根 m1= m2=1，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：∴x+y=2z ，運算分析后當y-z=0 時，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得 x=y， ∴ x+y=2z 。

本題的解題方法是根據(jù)題設(shè)條件和一元二次方程根的判別式=b2-4ac，構(gòu)造對應的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0； 第一個解是當一元二次方程的二次項系數(shù) y-z=0 時，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得：x=y，∴ x=y=z， ∴ x+y=2z 。第二個解是當一元二次方程的二次項系數(shù) y-z≠0 時，因為一元二次方程的各項系數(shù)之和為零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 必有一根為 1，又因為這個一元二次方程根的判別式 =b2-4ac= （x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以這個一元二次方程的根 m1= m2=1，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知m1m2=1，即

這類問題中的題設(shè)條件與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac 的形式相同，解答時，構(gòu)造出對應的一元二次方程，但需要討論二次項的系數(shù)。

綜上所述，可以看出一元二次方程是初中數(shù)學的教學重點，需要學生在不斷地應用過程中靈活掌握，注重解題思路的靈活性，注重針對該部分知識內(nèi)容的學習，從而培養(yǎng)學生全面的邏輯思維能力。教師在此過程中要注重考慮學生的主體性，積極調(diào)動學生參與解題，以提高學 生的數(shù)學素養(yǎng)。希望教育工作者引起對該課程內(nèi)容的重視，不斷對數(shù)學知識進行深入的探討和研究，從而促進課程改革的順利進行。

[1]吳瓊.中日初中“方程與代數(shù)”的教材比較—以上教版東京書籍版為例[D].上海師范大學，2010．

[2]劉良華，成繼紅.中新初中數(shù)學教材的題目設(shè)置及習題認知水平的比較研究—以一元二次方程為例[J].咸寧學院學報，2011，31（06）：38-39．

[3]孫吉培.對用函數(shù)觀點看一元二次方程教學的探析[J].中學生數(shù)理化（學研版），2012（07）：54．

[4]劉作兵.一元二次方程的教學反思[J].科學咨詢（教育科研），2012（07）：62-63．