微積分在大學物理課程力學部分的主要應用

王奕潤 胡珍妮 姜曼

【摘要】大學物理是本科院校理工科學生的主要必修課程。研究微積分在力學中的主要應用，幫助學生重視微積分理論與技能學習，提升物理學習效果，同時對數理教學活動提供一點參考。

【關鍵詞】微積分 導數 微分 積分

微積分是研究函數極限、導數與微分、積分理論及應用的重要的數學分支。微積分思想及其研究問題的方法，在物理、力學、天文學、生物化學以及經濟、人文等領域應用普遍廣泛。學生通過微積分理論學習及基本運算能力訓練，對后續(xù)課程學習大有裨益。

物理學是研究不同層次物質結構和物質運動的最基本、最普遍規(guī)律的學科?！皩θ祟愇磥淼倪M步起著關鍵作用?！弊鳛楫敶匀豢茖W領域的奠基者，物理學之力學、熱學、電磁學、光學及近代物理學等知識理論在科技科研及生產領域廣為應用。力學是物理學重中之重。理工科學生扎實系統(tǒng)掌握物理學基本理論與技能，對完善知識結構及專業(yè)發(fā)展舉足輕重。

微積分知識在力學部分的應用主要在導數、微分、積分與微分方程幾方面。

一、導數在力學中的應用

（一）根據導數定義

假設一元函數在某點一個鄰域內有定義，當給該點以增量（仍在同鄰域）時函數產生相應增量。若函數增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時的極限存在，則稱此極限值為函數在點的導數.又稱函數在該點可導。

（二）導數在力學中的應用

導數在力學中的存在形式并不統(tǒng)一。不同導函數在物理學中意義迥異。比如速度、加速度等。質點按位置矢量的規(guī)律運動，在一段時間內發(fā)生位移.當時間間隔趨于零時，位移與時間比值的極限，就是質點在初始時刻的瞬時速度.此速度其實就是位置矢量對時間一階導數；再比如，圓周運動中角坐標表示質點某時刻所在的位置，質點運動中在一段時間內角坐標發(fā)生改變，產生角位移。當時間間隔趨于零時，角位移與時間間隔比值的極限，是角坐標對時間的一階導數，其實就是質點在初始時刻的角速度；此外，導數還可以表征機械做功的快慢：設某機械在一段時間內做功，當時間趨于零時，機械所做的功與該段時間之比的極限，可得到機械在初始時刻的瞬功率，機械的瞬時功率實際上就是功對時間導數。

二、微分在力學中的應用

（一）根據微分定義

函數在自變量某點一個鄰域內有定義，當自變量發(fā)生改變時，若函數的增量可以表示為自變量增量倍（與自變量增量無關）跟自變量增量之高階小的和，這個自變量增量的倍稱為函數在初值處的微分，此時也稱函數在該處可微。

（二）微分在力學中的應用

微分在物理學中使用，常以“某某元”形式出現，如位移元，路程元，電流元、元功等質點運動時常用位置矢量表示質點在某時刻相對某點所處位置，位移表示一段時間內質點位置矢量的改變。位移元是位置矢量函數對時間的微分，它表示在很短時間間隔內質點微小位矢增量，亦即微小的位移；再如，路程元（又稱長度元）表示質點運動時其軌跡長度的微小改變，即微小的路程。路程元是位置函數對時間的微分。

三、定積分在力學中的應用

（一）函數定積分的本質

函數定積分的本質是求函數在自變量有限范圍內的部分量之總和。簡言之，為計算總量，選取積分變量，取其任一小區(qū)間得函數部分量元素；從起點到終點對部分量元素累加之和是為總量，這個方法叫定積分元素法。

（二）定積分元素法在力學中應用

求質點在變力作用下沿曲線起點移至終點的總功。按功的定義，先計算外力在曲線上任一位移元上所做的元功，此時位移元大小等于曲線元，力做的總功就是元功從起點到終點的定積分；若剛體在垂直于轉動軸的外力作用下，轉過角位移元，按總功的定義，寫出剛體受外力在這小段位移所做元功，可得力（力矩）對剛體所做總功。

四、可分離變量方程在力學中的應用

（一）微分方程

微分方程是指凡含有未知函數及導數的方程，稱為微分方程。將微分方程中的變量先進行分離，再對兩側同時積分即可。

（二）可分離變量微分方程在力學中的應用

在物理學運算中常常會用分離變量法解微分方程。比如，在直角坐標系下，質點沿橫軸做初速度不為零的勻變速直線運動。由于加速度是速度的一階導數，分離變量可得速度微分等于加速度與時間微元乘積，結合初始條件兩側取定積分即可得解。

綜上所述，微積分與物理學（含力學）淵源深厚。對理工科學生而言，良好的微積分理論功底，對學習后續(xù)課程如物理學大有裨益。從教師角度，從事物理課程教學的教師，應有一定嫻熟深厚的數學功底，才能在物理學（含力學）授課中揮灑自如；而數學教師在微積分教學中，在教學中靈活運用物理學量舉例，以學生獲取最大化為原則，適當考慮微積分相關教學內容安排與后續(xù)課程銜接。

參考文獻

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作者簡介：王奕潤（1970-），研究方向：物理與高等數學教學研究、新工科實踐教學研究。