一類數(shù)量積問題的求解策略

沈春妹

近日，筆者拜讀了胡國生、黃增勇老師的研究成果（文[1]）后，對(duì)其中的“調(diào)研題2”的解法感興趣，文中通過基底法的三種途徑和坐標(biāo)法兩種途徑分別闡述了男女生在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的差異性，筆者關(guān)注的是，就解法而言，該題運(yùn)用極化恒等式求解更見簡捷，且解法具有一定的普適性.

1 問題再現(xiàn)

2 應(yīng)用

評(píng)注 本題運(yùn)用極化恒等式巧妙地把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為含單個(gè)變量型的最值求解問題.

評(píng)注 本題不論使用坐標(biāo)法還是基底法都比較繁瑣，而用極化恒等式轉(zhuǎn)化，巧妙地找出了最小值具備的條件，再由平面幾何性質(zhì)“等腰三角形三線合一”求解.

運(yùn)用極化恒等式的關(guān)鍵在于“中點(diǎn)”，充分利用三角形的中線和第三邊，在求解數(shù)量積或其范圍時(shí)，通過極化恒等式可將多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為單個(gè)變量，再利用數(shù)形結(jié)合等方法求出值或范圍，當(dāng)然，對(duì)學(xué)生而言，極化恒等式本身就是一個(gè)難點(diǎn).

3 拓展

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得最小值2.

極化恒等式在教材中并未出現(xiàn)，但是通過教師的引導(dǎo)，能成為求解較難數(shù)量積問題的一把利刃，每一道數(shù)學(xué)試題的解法可能不唯一，優(yōu)化解題的路徑與方法勢(shì)在必行，同時(shí)通過多角度審視幫助我們接近問題的深層結(jié)構(gòu)，另一方面溝通了不同知識(shí)也幫助我們優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)

[1]胡國生，黃增勇.高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)思維差異的探究[J].二中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017 （10）：21-23