例析“放縮法”證明不等式的解題策略

楊西龍

近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點，有極大的遷移性，對它的運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性，“放縮法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應變能力有較高的要求，因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞，下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助.

1 添加或舍棄一些正項（或負項）若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大;多項式中加上一些負的值，多項式的值變小，由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的，本題在放縮時就舍去了2^k—2，從而是使和式得到化簡.

2 先放縮再求和（或先求和再放縮）

此題不等式左邊不易求和，此時根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和，若分子、分母如果同時存在變量時，要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可.

3 先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）

本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.

4 放大或縮小“因式”;

此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處.

7 利用基本不等式放縮

8 先適當組合、排序，再逐項比較或放縮

以上例析了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當?shù)姆椒ǎ袝r還需要幾種方法融為一體，在證明過程中，適當?shù)剡M行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果，但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象，因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要，要想正確確定放縮目標，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點，掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力，希望讀者能夠進一步了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.

參考文獻

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