對(duì)一道三角函數(shù)求值題的解法再探

謝盛富

數(shù)學(xué)離不開解題，通過解題能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的素養(yǎng)，在剛剛頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中，提出了6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性和實(shí)踐性，歷年高考均是以知識(shí)為依托、以能力為目的考查數(shù)學(xué)思想與方法，數(shù)學(xué)思想與方法又是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體呈現(xiàn)，而解題教學(xué)正是落實(shí)數(shù)學(xué)思想與方法提煉、揭示和掌握的一種有效途徑，因此在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化解題教學(xué)的過程性分析，注重解題思路的傳授，講清“怎么想到的”，方能讓學(xué)生獲得解題的“法寶”，讓學(xué)生體會(huì)并感悟其精髓，逐漸養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，有效培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

筆者曾在文[1]給出了如下試題第（Ⅲ）問的五種解法，并重點(diǎn)對(duì)解法5所得兩解進(jìn)行了剖析，由于文[1]成文時(shí)學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)到三角恒等變換公式，故在三角恒等變換公式學(xué)習(xí)之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解法再探究，并整理成文，若有欠妥之處，懇請(qǐng)同行們批評(píng)指正.

1 試題再現(xiàn)

評(píng)析 此解法雖與解法5相似，但此處是通過“1”的代換構(gòu)造齊次式.

思路2 構(gòu)造數(shù)量積，再利用三角恒等變換.

思路3 利用輔助角公式和湊角進(jìn)行三角恒等變換.

思路4 利用等差中項(xiàng)，化二元變量為單元變量，減少計(jì)算量.

文[1]的5種解法與本文的5種另解，解題思路各有千秋，有些更接近不同層次學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有些構(gòu)思比較巧妙，但都離不開所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，目標(biāo)清晰，目的明確，最終求出tanA的值，總之，“教師講明白”不等于“學(xué)生明白”，更不等于“學(xué)生理解、掌握與應(yīng)用”，因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題特征，善于觀察，探究解題方向，優(yōu)化解題思路，進(jìn)而解決問題，從中提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 變式

教學(xué)中教師要立足基礎(chǔ)，回歸課本并進(jìn)行“二次開發(fā)”，認(rèn)真研究高考試題，注意試題適度引申，注重一題多解和變式教學(xué)，抓通法，注意合縱連橫，適度拓展學(xué)生的視野，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的滲透，發(fā)散思維，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，需要從探究開始，從課堂落實(shí)，讓學(xué)生會(huì)提出問題，激發(fā)探究意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想與方法解決問題，培養(yǎng)探究能力，最終從反思中養(yǎng)成探究習(xí)慣，不斷提高他們的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，促使學(xué)生核心素養(yǎng)得到不斷發(fā)展.