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    探求不變量 巧解動(dòng)態(tài)題

    2018-11-29 06:48:36張濤
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)線段動(dòng)態(tài)

    張濤

    近幾年中考試卷和模擬卷中出現(xiàn)了很多動(dòng)態(tài)型問題,它們立意新穎,靈活多變,集幾何、代數(shù)知識于一體,考查學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性、創(chuàng)新性,解決這類試題時(shí),需要用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的眼光去分析問題,把握運(yùn)動(dòng)的全過程,尤其需要關(guān)注其中的不變量,這里的不變量,是指在運(yùn)動(dòng)過程中,保持不變的數(shù)量或關(guān)系,可以分為數(shù)值不變量和圖形不變量,利用不變量解決動(dòng)態(tài)問題,往往能收到事半功倍的效果,下面舉例說明之.

    1 數(shù)值不變量

    數(shù)值不變量是指在運(yùn)動(dòng)過程中,線段長度、角的大小、圖形的周長、圖形的面積保持不變,或者這些量的和差倍分關(guān)系保持不變.

    例1(2012年揚(yáng)州中考題)如圖1,線段AB長為4,C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AC,BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE長的最小值是

    分析 D,E分別在線段AC,BC的垂直平分線上,所以D,E的水平距離是不變量.

    點(diǎn)評 相對于建立函數(shù)關(guān)系式求最小值,利用線段MN這個(gè)不變量求解避免復(fù)雜的計(jì)算,巧妙簡潔.

    分析 P在運(yùn)動(dòng)時(shí),∠PAB=∠PBC,則∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90。,則∠P=90。,所以∠P是不變量,從而得出點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的一段弧,化隱為顯.

    點(diǎn)評 若動(dòng)點(diǎn)對定線段所成的張角是不變量時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓弧.

    分析線段BB',CC',DD'的大小隨著P的運(yùn)動(dòng)而變化,但三條線段始終滿足BB'+CC'=DD',三條線段的數(shù)量關(guān)系是第一個(gè)不變量,此外,由于點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),BC∥AD,則△ADP的面積也是不變量.

    點(diǎn)評 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)和圖形中可能蘊(yùn)含了多個(gè)不變量,解題時(shí)應(yīng)充分挖掘不變量.

    2 圖形不變量

    圖形不變量是指在運(yùn)動(dòng)過程中,圖形的形狀、相互關(guān)系(全等、相似)、位置關(guān)系(平行、垂直、夾角的大?。┍3植蛔?

    點(diǎn)評 通過△AMN這個(gè)不變量,巧妙地將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成了單個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題,化繁為簡.

    點(diǎn)評 通過構(gòu)造基本圖形得到不變量,體現(xiàn)了不變量的生成性.

    點(diǎn)評 平行或者垂直這類位置關(guān)系的不變量是比較直觀易找的.

    一般來說,求解動(dòng)態(tài)問題時(shí)應(yīng)先找到主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn),從整體上把握運(yùn)動(dòng)的全過程,進(jìn)而有目標(biāo)、有意識地尋找圖形中是否蘊(yùn)含不變量,借助于不變量去分析問題,若圖形和運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜,應(yīng)充分挖掘與所求量相關(guān)的不變量,若原有圖形中缺少不變量,有時(shí)也可以借助基本圖形來構(gòu)造不變量,總之,只要在變化中抓住不變量,化隱為顯,化動(dòng)為靜,化繁為簡,就可以簡潔巧妙地破解很多動(dòng)態(tài)問題.

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