基于教材分析，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂設(shè)計

徐榮新

1 基本情況

1.1 教材分析

本節(jié)課是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修4第一章第三節(jié)的第一節(jié)課，主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念，以及正弦、余弦函數(shù)的周期性，在此之前本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，以及在此基礎(chǔ)上的誘導(dǎo)公式;而在本節(jié)之后將學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，周期性則是為作圖提供了理論依據(jù)，所以本節(jié)知識既是前面知識的延續(xù)，又是后續(xù)知識的基礎(chǔ).

同時周期性的研究也是數(shù)形結(jié)合思想的完美表現(xiàn)，思想方法的教學(xué)就應(yīng)滲透在平常的教學(xué)中，用好關(guān)鍵的章節(jié)，因此在學(xué)習(xí)周期函數(shù)的定義后，要用好課本的思考題，去探究等量關(guān)系所體現(xiàn)的圖象特征.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力，數(shù)據(jù)分析能力以及分析問題和解決問題的能力，發(fā)展理性思維.

1.2 教學(xué)目標

（1）了解周期函數(shù)的相關(guān)概念，能從“形”和“數(shù)”的角度體會函數(shù)的周期性，會利用定義、圖象和公式求一些簡單三角函數(shù)的周期.

（2）通過生活中周幾現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化剖析，理解周而復(fù)始，提煉給出函數(shù)周期性的定義;在運用中加深對定義的理解;并嘗試利用定義尋求三角函數(shù)的周期性，總結(jié)規(guī)律.

1.3 教學(xué)重難點

重點：周期函數(shù)的定義和正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性;

難點：周期函數(shù)的概念.

2 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1 新知建構(gòu)

教師：（1）今天周二，7天后周幾？14天后呢？7天前呢？14天前呢？為什么？

學(xué)生：都是星期二！因為星期是以7天為一循環(huán).

（2）這種現(xiàn)象你能用一個成語來刻畫嗎？

學(xué)生（討論）：“周而復(fù)始”比較恰當.

（3）你能結(jié)合周幾現(xiàn)象解釋“周而復(fù)始”這個詞嗎？生活中還有其他的例子嗎？

學(xué)生：每過七天，周幾和今天是一樣的，也就是每經(jīng)過一段重復(fù)出現(xiàn)，與原來一樣.

舉例：“生活中的月份”、“離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風(fēng)吹又生”等等.

活動意圖通過對生活現(xiàn)象的剖析，讓學(xué)生體會到“周而復(fù)始”的本質(zhì)，即經(jīng)過一定間隔又回到開始的地方.

教師：你能舉出三角函數(shù)中“周而復(fù)始”現(xiàn)象嗎？

學(xué)生：三角函數(shù)線旋轉(zhuǎn)重合.

學(xué)生：還有三角函數(shù)值相等：譬如sin（x+2π）=sinx.

教師：很好，兩位同學(xué)分別從“圖形”和“代數(shù)”的角度讓我們體會到了“周而復(fù)始”，其本質(zhì)是一樣的，其中代數(shù)式“sin（x+2π）= sinx”反映了任意角x的函數(shù)值等于它增加2π之后的函數(shù)值，我們把這種性質(zhì)稱為——周期性，

設(shè)計意圖在對周而復(fù)始現(xiàn)象的剖析后，轉(zhuǎn)入三角函數(shù)問題中周而復(fù)始現(xiàn)象的探究，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進行問題的延伸探討，并引導(dǎo)學(xué)生初步感受周而復(fù)始現(xiàn)象的數(shù)形兩樣特征表現(xiàn)，同時結(jié)合“sin（x+2π）=sinx”給出周期性的初步說明.

教師：同學(xué)們能嘗試給出一般周期函數(shù)的定義嗎？

學(xué)生（師生一起完善）：對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得對于定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

教師：這個定義中，哪些詞應(yīng)該引起我們的特別關(guān)注？

學(xué)生：“非零常數(shù)”，否則沒有研究價值;“每一個”體現(xiàn)了任意性，不能出意外;“f（x+T）=f（x）”這是周期性“數(shù)”的本質(zhì).

教師：同學(xué)們總結(jié)得非常到位，這些關(guān)鍵詞的理解與我們先前學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性有異曲同工之處，對定義的理解也是我們進一步研究的根基.

設(shè)計意圖 在之前問題解決的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言嘗試提煉，進行定義的建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，并在三個方面進行辨析理解，即表達式、間隔的非零要求、以及自變量的任意性，與奇偶性的對照理解則加深學(xué)生對關(guān)鍵點處的認識.

追問1：根據(jù)周期函數(shù)的定義，正弦函數(shù)還有其他周期嗎？

學(xué)生：還有，從誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）= sinx（k∈Z）中可以看出4π，甚至-4π也是它的周期;或者從三角函數(shù)線也可以看出，逆時針或者順時針旋轉(zhuǎn)兩圈也可以重復(fù).

教師：很好，這位同學(xué)從“數(shù)”與“形”的角度發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)周期的不唯一性，但由于周期函數(shù)的重復(fù)性，我們研究一個函數(shù)，只要研究一個周期即可，因此我們規(guī)定：對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期，譬如f（x）= sinx的最小正周期就是2π——其證明可參考課本的“鏈接”，以后我們研究函數(shù)的周期，如果不特別說明，都指最小正周期.

設(shè)計意圖：借助三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)其他周期，進而引出最小正周期概念，說明最小正周期的研究合理性：一個周期的特征足以描述其他范圍內(nèi)函數(shù)的特征.

追問2：周期函數(shù)圖象有什么特征？原因是？

學(xué)生：循環(huán)，重復(fù)出現(xiàn)，因為函數(shù)值的相等！

教師：很好，函數(shù)值的相等反映在圖形上就是重復(fù)出現(xiàn)，之前在研究函數(shù)的奇偶性時，我們先觀察到圖形關(guān)于y軸對稱或者原點對稱，從而反映x和-x函數(shù)值的相等或者相反，即由形到數(shù)，后續(xù)我們則利用函數(shù)的周期性來研究三角函數(shù)的圖象，即由數(shù)到形.

設(shè)計意圖充分挖掘代數(shù)問題背后的圖形特征，進行直觀想象，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)形結(jié)合思想，并與函數(shù)的奇偶性研究思路進行對比：后者是先圖形，再有數(shù)量的刻畫，而周期性則是先有數(shù)量的刻畫再有圖形的特征.

環(huán)節(jié)2 知識應(yīng)用

問題1：若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

（1）求該函數(shù)的周期;

（2）求t=10s時鐘擺的高度.

學(xué)生：從圖象可以觀察出，周期為1.5s;

設(shè)函數(shù)為h（t），因為周期為1.5s，

所以h（10）= h（6x1.5+1）= h（1）=20.

設(shè)計意圖在第（1）問通過實際問題讓學(xué)生感受周期性圖象的特點，體會其中的數(shù)形結(jié)合思想;第（2）問則引導(dǎo)學(xué)生在求值中應(yīng)用周期性，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的功能，體會周期性在求解函數(shù)值中的作用.

問題2：我們知道三角函數(shù)是刻畫圓周運動的數(shù)學(xué)模型，那么周期性在三角函數(shù)中怎么體現(xiàn)呢？

探究：函數(shù)f（x）= cos2x的周期是？

學(xué)生回答（教師板演）：設(shè)f（x）的周期為T，則f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x，亦即cos（u+2T）= cosu對任意u恒成立，則2T=2π，即周期為π.

教師：很好，抓住周期函數(shù)的定義是這個問題解決的關(guān)鍵，同時也利用整體思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式得到了2T= 2π，繼而解決問題.

追問：請同桌之間互相出題，給出一個三角函數(shù)，并求出其周期.

教師：通過黑板上同學(xué)板演的三道題，結(jié)合你們自己的問題，能總結(jié)出一般的規(guī)律嗎？

設(shè)計意圖通過前面問題的研究，來到本節(jié)課的主題：三角函數(shù)的周期性，由于前面問題的研究，以及學(xué)生在此之前已有的知識儲備，此處的問題解決將顯得自然，讓邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力得到提升，探究和互相出題問題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，提升數(shù)據(jù)分析能力，總結(jié)得出正余弦函數(shù)周期性的一般性結(jié)論.

環(huán)節(jié)3 回顧總結(jié)，提升認識

學(xué)生總結(jié)、教師點撥，完成本節(jié)課的知識和思想方法提煉.

知識層面：了解了什么是周期函數(shù)，形和數(shù)的特點;掌握周期的求法：定義法，圖象法，公式法;

思想方法層面：體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，整體思想，從特殊到一般等等.

教師：研究了周期性，那么三角函數(shù)本身的圖象有何特征？后面我們將利用周期性來研究.

3 教學(xué)思考

3.1 發(fā)展核心素養(yǎng)要激活學(xué)生思維

課堂上學(xué)生活躍而投入的思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的基石，只有從主觀上愿意去探究、接受新知，才有可能在此過程中讓核心素養(yǎng)得到訓(xùn)練和提升，而激活思維一方面取決于學(xué)生先天對學(xué)科的認同和對知識的好奇，另一方面也取決于教師對問題和情境的設(shè)計，本節(jié)課在教學(xué)伊始提出“周幾現(xiàn)象”、“用成語刻畫”、“生活中其他例子”，一下子把學(xué)生的思維提高到一定的興奮點，進而引入到數(shù)學(xué)內(nèi)部本身，同時在定義的生成過程中與函數(shù)的奇偶性進行對比研究，也是基于學(xué)生已有的認知水平，通過類比研究讓學(xué)生覺得新知并不陌生，只是同一類知識的不同表現(xiàn)，因此激活思維首要是合理地設(shè)計情境和問題，讓學(xué)生克服新知學(xué)習(xí)的畏難情緒，具備探究新知的良好心理狀態(tài).

3.2 發(fā)展核心素養(yǎng)仍需立足“四基”

基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（俗稱“四基”）是課堂教學(xué)的首要任務(wù)，而“四基”教學(xué)是發(fā)展核心素養(yǎng)的有機載體，把發(fā)展核心素養(yǎng)融入在“四基”教學(xué)中，因此我們在問題的設(shè)計和處理中要一如既往地立足于“四基”的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本知識和方法、體會基本數(shù)學(xué)思想、總結(jié)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程，促使學(xué)生核心素養(yǎng)的不斷提升和發(fā)展，本節(jié)課在情境引入中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象，定義之后的追問則引發(fā)了直觀想象，問題1則是數(shù)學(xué)的基本運算，同時讓學(xué)生感悟到數(shù)形結(jié)合的思想方法，而在問題2的研究中則讓邏輯推理能力得到了提升，在幾個題目的剖析后通過總結(jié)得到周期的公式則是基于數(shù)學(xué)分析能力，也感受到從特殊到一般的數(shù)學(xué)處理方法.

3.3 發(fā)展核心素養(yǎng)要創(chuàng)設(shè)探究活動

波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”，因此發(fā)展核心素養(yǎng)要盡可能地給予學(xué)生探究的空間和時間，本節(jié)課在周期公式的探究中，通過之前的鋪墊，讓學(xué)生之間互相出題解決，激發(fā)了學(xué)生的熱情，并通過學(xué)生的展示去總結(jié)歸納，這樣的效果肯定比我們教師簡單的傳授效果要好，印象要深刻，正所謂“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”！在平常的教學(xué)過程中要通過局部的探究活動來實現(xiàn)難點和重點的突破，而且是學(xué)生的主動突破，這也是教師在備課時要加以考慮的一個環(huán)節(jié).

3.4 發(fā)展核心素養(yǎng)要基于教材分析

每一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程和內(nèi)容都是我們發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有機載體，如何最大化地發(fā)揮問題、活動的效益是教師備課時必須考慮的，如果問題僅限于問題本身，可能也就失去了研究的價值，或者說限于教師的能力，由于自己對題目理解的局限性而影響了學(xué)生對問題的理解，因此教師需仔細研讀教材，領(lǐng)會教材編寫者設(shè)置例題的意圖，體會其與已有知識、方法的聯(lián)系，甚至在數(shù)學(xué)思想等方面的深度和高度，以自己的高度引領(lǐng)學(xué)生的高度，去設(shè)計合理的情境，挖掘例題的功能，組織科學(xué)的學(xué)生活動等等.