兩個(gè)幾何不等式的加強(qiáng)

趙忠華 杜世華

(安徽省旌德中學(xué) 242600 安徽省旌德梓陽(yáng)學(xué)校 242600 )

胡文生老師在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第8期給出了兩個(gè)幾何不等式：設(shè)a,b,c,ma,mb,mc,la,lb,lc分別表示△ABC的三邊長(zhǎng)，三條中線長(zhǎng)，三條角平分線長(zhǎng)，則

本文將這個(gè)不等式加強(qiáng)為：

我們先證以下引理.

引理1△ABC中, 相應(yīng)于頂點(diǎn)A,B,C的中線長(zhǎng)為ma,mb,mc;內(nèi)角平分線長(zhǎng)la,lb,lc;高線長(zhǎng)為ha,hb,hc;則ha≤la≤ma,hb≤lb≤mb,hc≤lc≤mc.

證明如圖:△ABC中，AD是高,AE是內(nèi)角平分線,AF是中線, 我們分情況討論:

(1)若AC≠AB,

不妨設(shè)AC>AB,則∠B>∠ACB,

所以∠BAD<∠CAD,

所以∠BAC的內(nèi)角平分線AE位于∠CAD中，

國(guó)內(nèi)情況：前周，國(guó)內(nèi)各地區(qū)尿素價(jià)格周環(huán)比上漲為主。其中河北、山西、上海、浙江、福建、山東、河南、湖北、湖南、四川、陜西、甘肅等地尿素批發(fā)和零售價(jià)格分別上漲1-150元/噸；江蘇、安徽和云南3省尿素批發(fā)和零售價(jià)格分別下跌20-67元/噸，其余地區(qū)價(jià)格持穩(wěn)。

即E一定在CD上.

根據(jù)勾股定理，BD

所以BC的中點(diǎn)F一定在CD上，

所以E點(diǎn)在線段DF上,故ha

若AC

(2) 如果AC=AB,則ha=la=ma.

由(1)、(2) 得ha≤la≤ma.

同理hb≤lb≤mb,hc≤lc≤mc.

證明由柯西不等式有

由引理1、2，我們立即可得