談新課程理念下的高中數(shù)學概念教學

□海南省保亭黎族苗族自治縣保亭中學 曹華平

數(shù)學概念反映的是一類對象的本質(zhì)屬性。數(shù)學概念是構(gòu)建數(shù)學理論大廈的基石，是導出數(shù)學定理和數(shù)學法則的邏輯基礎，是數(shù)學學科的靈魂和精髓，是提高解題能力的前提。因此數(shù)學概念是學生數(shù)學學習的核心內(nèi)容。在以往的概念教學中，大多數(shù)教師更多關(guān)注的是概念的數(shù)學應用價值，因此在匆匆給出數(shù)學概念之后，便是大量的強化訓練。而新課程理念下的數(shù)學教學，十分重視挖掘數(shù)學本質(zhì)，重視數(shù)學知識的形成過程，關(guān)注數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與背景分析，尤其在概念教學上，更是突出了以上內(nèi)容。下面談談我們對新課程理念下概念教學的一些想法。

一、關(guān)注數(shù)學概念的引入環(huán)節(jié)

創(chuàng)設情境是新課程倡導的理念，《普通高中數(shù)學課程標準》中“內(nèi)容標準”規(guī)定：從實際情境中抽象出相關(guān)知識、結(jié)合具體的實際問題情境了解或理解相關(guān)知識、學生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量相關(guān)的數(shù)學知識。在“評價建議”中指出：“應特別重視考察學生能否從實際情境中抽象出數(shù)學知識以及能否應用數(shù)學知識解決問題”。［1］

1.通過學生活動創(chuàng)設問題情境引入概念。

案例1：《橢圓及其標準方程》

在橢圓概念引入時，可以采用折紙的游戲來創(chuàng)設問題情境：

請學生拿出圓形紙片，并按如下步驟進行操作：

（1）將圓心記作點F1，然后在圓內(nèi)任取一定點F2。

（2）在圓周上任取10個點，分別記作N1、N2、N3……N10，將它們與圓心相連，得半徑F1N1、F1N2、F1N3……F1N10。

（3）折疊圓形紙片，使點N1與點F2重合，將折痕與半徑F1N1的交點記作M1；然后再次折疊圓形紙片，使點N2與點F2重合，將折痕與半徑F1N2的交點記作M2；……；依此類推，最后折疊圓形紙片，使點N10與點F2重合，將折痕與半徑F1N10的交點記作M10。

（4）用平滑曲線順次連接點M1、M2、M3……M10，你有何發(fā)現(xiàn)？

在學生通過動手實踐、觀察之后，猜想軌跡為橢圓，借助幾何畫板展示動點生成軌跡的全過程，印證猜想，同時指出我們對于橢圓只知其“名”、其“形”，但對于其具體的品性卻一無所知。比如，橢圓上的點具有怎樣的幾何特征？能否用代數(shù)方法精確地刻畫出這種幾何特征？從而導出新課“橢圓及其標準方程”。

這樣的情境設計，可以使學生產(chǎn)生學習興趣，并提高學生進一步學習的欲望。

2.創(chuàng)設實際應用情境引入概念。

案例2：《平均變化率》

情境1現(xiàn)有南方某市3月18日到4月20日間日平均氣溫記錄如下圖所示：

問題：（1）曲線圖中A，B，C三點的坐標的含義是什么？（2）曲線AB與BC哪段更陡些？（3）“陡”的實際意義是什么？從數(shù)學角度如何刻畫“氣溫驟升”？

設計意圖：借助學生熟悉的溫度變化快慢問題，進一步感受溫度的平均變化率，從而體會“溫度驟升”的數(shù)學意義。

情境2 股指“跳水”。下圖是某日某A股走勢圖。

問題：（1）對這支股票走勢圖你有哪些認識？（2）如何從數(shù)學角度刻畫股指“跳水”？

在“平均變化率”的概念教學中，學生對于這些身邊的實際問題非常感興趣，他們反應積極，甚至有個別學生還談到了自己的“投資”經(jīng)歷。當然，對于這些實際問題中所蘊含的數(shù)學問題、數(shù)學本質(zhì)，教師要隨時抓住，使學生深入領會平均變化率的意義。

3.借助數(shù)學發(fā)展史引入概念。

許多數(shù)學概念的形成發(fā)展都伴隨著一些鮮為人知的故事，比如乘方運算背后的古印度國王獎賞象棋發(fā)明者塞薩的故事，“無理數(shù)”的發(fā)展歷程與“畢達哥拉斯學派”的故事，以及斐不那契數(shù)列（兔子數(shù)列）的故事等等。通過這些概念背后的故事，不僅可以吸引學生的注意力，同時可以使學生對所要學習的數(shù)學概念有更強烈的學習欲望，更重要的是學生可以從中體會到數(shù)學的科學價值，可以“提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習慣和鍥而不舍追求真理的精神”。［2］

4.從揭示學習概念的必要性角度引入概念。

在數(shù)學知識的學習中，數(shù)學概念學習是根本，作為教師可能覺得每個概念的學習都是理所當然，但學生存在的最大疑惑就是：我們?yōu)槭裁匆獙W習這些概念？這就是學習概念的必要性問題。

要揭示學習數(shù)學概念的必要性可以從不同角度入手，比如函數(shù)概念的學習，是為了解決我們身邊存在的各種現(xiàn)實問題，我們可以從解決變量間的對應關(guān)系入手來引入函數(shù)概念，讓學生在獲得函數(shù)概念的同時，體會到學習函數(shù)這個核心概念的必要性；再如，“三角函數(shù)線”是從圖形角度直觀地來描述三角函數(shù)概念的本質(zhì)，這也是我們學習三角函數(shù)線的必要性，我們可以設計一個“利用所給的量角器、直尺如何獲得cos、sin的近似值”的實驗活動，在實際操作中學生不僅體會到了學習三角函數(shù)線的必要性，并在此基礎上探討出如何科學定義“正弦線”“余弦線”，同時也激發(fā)了學生學習數(shù)學概念的興趣。

總之，根據(jù)數(shù)學概念的不同特點，我們可以合理設計概念的引入環(huán)節(jié)，讓學生在學習概念之初，就真切感受到數(shù)學概念就存在于我們身邊，它的學習是自然的，更是有意義的。

二、關(guān)注數(shù)學概念的形成過程

《普通高中數(shù)學課程標準》在“教學建議”中指出：“既要有教師的講授和指導，也有學生的自主探索與合作交流。教師要創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。”［3］

1.揭示概念的數(shù)學本質(zhì)。

有些學生特別愛問為什么，有的問題表面上看似乎是“莫名其妙”，其他學生也覺得問題“不可思議”，但我卻重視問題背后所隱藏的問題。

案例3：《任意角三角函數(shù)》

在教學中，我采取了“從靜到動”的方式，先復習銳角三角函數(shù)，再拓展到任意角，在直角坐標系中，第一象限角的情形可以輕松類比獲得，但要獲得一般情形的定義，還要考慮其它象限的情形，這就要從初中的“線段比”轉(zhuǎn)到“坐標比”，而在這個過程中，學生就有了疑問，為什么要這樣來定義正弦函數(shù)呢？能不能沿用初中的“線段比”？這樣的疑問促使我重新審視自己的教學設計。通過與學生的對話我了解到，學生在初中對于正弦函數(shù)的認識就僅限于“比值”，根本沒有“函數(shù)”意識，而我的教學設計卻恰恰忽視了這個概念的“函數(shù)”本質(zhì)。

之后，我重新設計了三角函數(shù)概念的教學過程，采取了“由動到靜”的方式，在給定直角坐標系中，依托單位圓，描述出隨著角的變化，利用坐標思想，給出正弦、余弦、正切作為函數(shù)的定義，突出了“動”即突出了函數(shù)。在此基礎上，進一步理解可以用終邊上點的坐標（或比）來認識三角函數(shù)值的意義，最后與初中的“正弦”“余弦”“正切”對比，進一步確認了上述三角函數(shù)定義的合理性。學生在對三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)有了深刻認識的同時，也充分了解到了初高中三角函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系。

2.要讓學生主動參與建構(gòu)過程。

在概念教學中，概念的形成與完善是概念教學的基礎和重點，當然也是教學的一個難點。建構(gòu)主義教學觀認為，數(shù)學知識不是簡單地通過教師灌輸?shù)綄W生頭腦中，必須基于個人對經(jīng)驗的操作、交流，通過反省來主動建構(gòu)。［4］因此，在概念教學中，我們可以通過問題設置，讓學生親自參與到概念構(gòu)建中，這樣，不僅可以幫助學生理解概念，同時也可以突破概念教學的難點，培養(yǎng)學生勇于探究的意識。

案例4：《函數(shù)單調(diào)性》

由于有了初中研究函數(shù)性質(zhì)做鋪墊，借助圖像特征，學生獲得增（減）函數(shù)的自然語言的描述并不難，但只有這樣的形象描述還遠遠不夠，因為根據(jù)它我們無法進行量的計算和推理，為了使定義具有普遍價值，我們需要用具體的量化語言來對增減性下定義。因此，在“函數(shù)單調(diào)性”的教學中，最關(guān)鍵的是探尋“單調(diào)性概念”的數(shù)學符號語言描述的定義，這個過程也是“單調(diào)性”概念教學的難點，下面是這個教學過程的課堂實錄片段。

師：你們怎么理解y隨著x的增大而增大？

生1：如果x比原來大，y也比原來的大。

師：怎么刻畫這里說的“比原來大”呢？

個別學生小聲說：就是比原來大了唄。

師：比原來大就需要比較，我們可不可以用具體的量來體現(xiàn)這里的“比原來大”呢？（同時教師展示函數(shù)圖像，想借用圖像引導學生用具體的數(shù)值來描述）

生2：比如，x由1變到2，這時y也由1變到了4。

師：說得非常好（同時板書1＜2，則有f（1）＜f（2）），我們是否可以通過這一點，就得到結(jié)論，y=x2在（0，+∞）是增函數(shù)呢？

學生齊聲：就一組肯定不行。

師：那我們要不要多來幾組？（老師利用幾何畫板測算出幾組對應數(shù)值）

學生開始自發(fā)地議論起來，但都表示加幾組也不行。

生3：加幾組也是有限的，而且都是特殊值，不能保證在區(qū)間（0，+∞）上的所有的x增大y也隨著增大。

師：看來，一一列舉肯定是行不通的，但我們確實需要將所有的數(shù)值拿來比較，有沒有什么辦法，可以讓我們不用一一列舉，卻能體現(xiàn)出對所有的數(shù)值進行比較呢？

學生又一次討論起來，甚至有的組還爭得較激烈。

學生代表：是不是可以任意取兩個？比如：a、b，但讓它們可以取到所有的數(shù)值，如果任意的這對數(shù)a＜b，也有f（a）＜f（b），就說明不論這兩個數(shù)取什么，只要x大，對應的函數(shù)值也大，也就說明這個函數(shù)是增函數(shù)了。

學生們再一次議論，接著是沉默、思考，之后紛紛點頭。

師：非常好，我們不妨用x1、x2來表示任意的兩個自變量，用y1、y2即f（x1）、f（x2）表示對應的函數(shù)值，來刻畫增函數(shù)的定義……

以上環(huán)節(jié)是師生共同探究“如何用精確的數(shù)學符號語言來描述‘增大而增大’，這個過程在整節(jié)課中占有重要地位，至此，增函數(shù)的定義才算真正獲得。這個環(huán)節(jié)的教學設計突出體現(xiàn)了以下兩方面的特點：一是突出體現(xiàn)了從直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性的探索歷程；二是讓學生充分體會到數(shù)學概念從無到有的建構(gòu)過程，從中學會探求數(shù)學概念的方式、方法，從而提高學生研究問題的能力。

在日常的概念教學中，有相當多的教師往往是“只教知識，不去理會知識為什么要這樣教”，使得學生只知其然，而不知所以然。因此絕大多數(shù)的學生，都已養(yǎng)成了“老師講什么就聽什么，老師說什么就是什么”的習慣，但作為教師，我們一定要鼓勵學生提出問題，要引導學生主動參與到概念的形成與完善當中，只有經(jīng)歷了這樣的概念建構(gòu)的思維過程，學生才能真正理解和認識概念的數(shù)學本質(zhì)。

三、關(guān)注數(shù)學概念的再理解過程

在概念形成之后，我們對概念的學習不是結(jié)束了，而是剛剛開始。通過創(chuàng)設情境，歸納得出概念，這只是由感性知識到理性認識的第一步，還不能說理解、掌握了概念，這就需要一個把“概念抽象成思維模式，培養(yǎng)出固定的邏輯思維”的過程，從而發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。

1.在運用中加強對概念的理解。

在概念形成后的教學中，我們可以有針對性地圍繞概念設計一些典型的問題，使學生在運用概念的同時，進一步理解概念的數(shù)學內(nèi)涵和外延，揭示概念的數(shù)學本質(zhì)。比如，在等比數(shù)列概念的再理解過程中，可以設計涉及“等比數(shù)列定義”的問題，同時還可以揭示等比數(shù)列的一些隱性特征，如各項均不為0或奇數(shù)項、偶數(shù)項的符號相同等。再如，在獲得充分條件、必要條件的定義之后，可以讓學生舉出一些生活上的、數(shù)學上的有關(guān)充分條件、必要條件的實例，通過例子的辨析、比較，使學生對充分性、必要性定義的理解更加透徹。［5］

2.在知識的聯(lián)系中加深對概念的理解。

任何概念的學習都不能僅僅停留在一節(jié)課里，那是不科學的，學生對于每一個重要數(shù)學概念的認識不是一蹴而就的，而是需要一個漸進的、逐步深入的認識過程，因此在概念教學中，我們要整體把握教學，有意識地幫助學生逐步形成一個完整的知識鏈，有計劃地展開對一些重要概念的深入理解和認識的過程。

在“三角函數(shù)”概念的學習中，我們可以將“三角函數(shù)概念”貫穿在三角函數(shù)這一章學習的始終，下面是與三角函數(shù)概念有聯(lián)系的知識參考框圖。

通過這個圖，我們可以把三角函數(shù)概念的學習和理解貫穿到整個三角函數(shù)內(nèi)容，當然也可以看出單位圓和三角函數(shù)圖像也是貫穿整個三角函數(shù)內(nèi)容，使學生對于三角函數(shù)概念的理解不再只是停留在抽象的“數(shù)”上，還可以從“形”上清晰地展現(xiàn)出來，學生對于三角函數(shù)概念的認識才會有一個大的提升，從而實現(xiàn)對三角函數(shù)概念較完整的認識過程。這不僅符合新課程所倡導的“螺旋式上升”的教學理念，同時對于提高概念教學的教學效果也是至關(guān)重要的。

當然，新課程下的概念教學要想收到我們預期的效果，還需要教師對概念教學充分地重視，要敢于打破以往的概念教學模式的束縛，勇于創(chuàng)新，敢于實踐。同時也需要教師不斷學習，提高對概念的全面理解和合理把握的能力。如果通過我們的教學，使抽象的數(shù)學概念不再生澀難懂，不再讓學生懼怕數(shù)學，這應該才是新課程理念下的概念教學所期望的效果。