伽利略變換在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

金年慶

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是處理曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法，其中速度的合成與分解互為逆運(yùn)算，都遵循平行四邊形定則.

教材中利用紅蠟塊在豎直的玻璃管中的運(yùn)動(dòng)展示了運(yùn)動(dòng)的合成問題，引出了合速度是兩個(gè)分速度的矢量和.速度的合成是由兩個(gè)已知分速度合成為一個(gè)合速度，速度的合成具有確定性.對(duì)一個(gè)確定的速度也可以進(jìn)行分解，速度的分解是速度合成的逆運(yùn)算.由一個(gè)確定的速度分解成兩個(gè)分速度具有任意性，分速度與合速度滿足平行四邊形定則的矢量關(guān)系.

與速度的合成與分解不同，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系也是矢量運(yùn)算的關(guān)系，但不能按任意方式進(jìn)行.相對(duì)運(yùn)動(dòng)中速度的關(guān)系滿足伽利略速度變換v絕對(duì)=v相對(duì)+v牽連，即絕對(duì)速度是牽連速度與相對(duì)速度疊加或合成的結(jié)果.伽利略速度變換也滿足矢量運(yùn)算規(guī)則，但是牽連速度和相對(duì)速度是兩個(gè)參考系之間速度關(guān)系的反映，在對(duì)兩個(gè)不同參考系間的速度變換時(shí)，必須根據(jù)兩個(gè)參考系間速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系來確定速度變換.伽利略變換中的絕對(duì)速度只能由相對(duì)速度和牽連速度合成，而不能將絕對(duì)速度“分解”為牽連速度和相對(duì)速度，與速度分解不同，絕對(duì)速度與牽連速度和相對(duì)速度的關(guān)系不是“分解”關(guān)系，不具有任意性.

首先以小船渡河為例說明，研究對(duì)象是小船，參考系有兩個(gè)，絕對(duì)參考系——河岸，相對(duì)參考系——水.

①絕對(duì)速度——船對(duì)岸的速度；

②相對(duì)速度——船對(duì)水的速度；

③牽連速度——水對(duì)岸的速度.

速度矢量運(yùn)算公式：v船對(duì)岸=v船對(duì)水+v水對(duì)岸，遵循平行四邊形定則和三角形法則.

例1 河寬以d表示，船的劃行速度以v1表示，水流的速度設(shè)為v2，v1>v2，求渡河的最小位移.

解析 船相對(duì)岸的速度即為船的實(shí)際速度v，根據(jù)伽利略變換

v船對(duì)岸= v船對(duì)水+v水對(duì)岸

即v=vl +v2

cosθ=v2/v1，渡河位移最小為d.

變式1：如圖2所示，民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)騎射項(xiàng)目，運(yùn)動(dòng)員騎在奔馳的馬背上，彎弓放箭射擊側(cè)向的固定目標(biāo)M.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員由A點(diǎn)沿AB方向騎馬奔馳的速度為v1，運(yùn)動(dòng)員靜止時(shí)射出的弓箭速度為v2，直線跑道離固定目標(biāo)M的最近距離為d，要想在最短的時(shí)間內(nèi)射中目標(biāo)（不計(jì)空氣阻力和重力影響），則運(yùn)動(dòng)員放箭處和射箭方向應(yīng)該為（）

A.在B處射出，箭頭指向M

B.在B處射出，箭頭指偏向A點(diǎn)的方向

C.在AB間某處射出，箭頭指向M

D.在AB間某處射出，箭頭指向垂直于AB方向

解析 研究對(duì)象是箭，絕對(duì)參考系為地面，相對(duì)參考系為馬，根據(jù)伽利略變換，v箭對(duì)地= v箭對(duì)馬+v馬對(duì)地.要想在最短的時(shí)間內(nèi)射中目標(biāo)，箭對(duì)馬的速度v2垂直于AB方向，同時(shí)使箭的實(shí)際速度v的方向?qū)?zhǔn)固定目標(biāo)，如圖3所示.可得射出時(shí)的位置距B點(diǎn)的距離x為，x=d v1/v2，所以正確選項(xiàng)為D.

答案D

例2 某人騎自行車以10 m/s的速度在大風(fēng)中向東行駛，他感到風(fēng)正以同樣大小的速率從北方吹來，實(shí)際上風(fēng)的速度是 （）

A.14 m/s，方向?yàn)楸逼?5。

B.14 m/s，方向?yàn)槟掀?5。

C.10 m/s，方向?yàn)檎?/p>

D.10 m/s，方向?yàn)檎?/p>

解析 首先弄清各個(gè)速度，以風(fēng)為研究對(duì)象，絕對(duì)參考系為地面，相對(duì)參考系為人，絕對(duì)速度為風(fēng)相對(duì)地的速度 v風(fēng)，相對(duì)速度為風(fēng)對(duì)人的速度v，牽連速度為人相對(duì)地的速度 v人·如圖4所示.

答案A

例3 玻璃生產(chǎn)線上，寬9m的成型玻璃板以2 m/s的速度連續(xù)不斷地向前行進(jìn)，在切割工序處，金剛鉆的割刀速度為10 m/s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道方向應(yīng)控制為____，切割一次的時(shí)間為____.

小結(jié)：相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系也是矢量運(yùn)算的關(guān)系，同樣遵循平行四邊形定則，但與速度的合成與分解有本質(zhì)的不同.運(yùn)動(dòng)的合成與分解都是指同一物體的運(yùn)動(dòng)，例如課本上紅蠟塊的例子，紅蠟塊的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，同時(shí)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)還可以合成為紅蠟塊的實(shí)際運(yùn)動(dòng).本文中的例子都是不同物體的運(yùn)動(dòng)，不好直接合成，更談不上分解了，但可以借助伽利略速度變換公式來求解.應(yīng)該公式解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式，找準(zhǔn)研究對(duì)象，弄清絕對(duì)參考系（一般取地面）和相對(duì)參考系，正確認(rèn)識(shí)絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度.