中學(xué)數(shù)學(xué)定理、公理運(yùn)用的實(shí)踐與研討

江蘇省徐州市賈汪區(qū)建平中學(xué) 王 艷

“對頂角相等”“凡直角都相等”“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”等都是數(shù)學(xué)定理。數(shù)學(xué)定理反映了條件和結(jié)論之間的一種必然聯(lián)系，它是從生活發(fā)展起來的。《周髀算經(jīng)》里就有“勾三、股四、弦五”說法（即 c2=a2+b2），這就是勾股定理，它是特殊性的判斷。后來隨著生產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)展，人們又從實(shí)踐中概括出三角形三邊余弦定理，即c2=a2+b2-2abcosC。這是一般三角形三邊的基本關(guān)系式，是勾股定理的推廣，它是普遍性的判斷。從這里可以看出，數(shù)學(xué)定理來源于實(shí)踐，而且一般都經(jīng)過辯證發(fā)展的過程。

數(shù)學(xué)中一些定論是經(jīng)過人們億萬次實(shí)踐直接證實(shí)的，這樣的命題叫做公理。如“整體大于部分”“若兩個(gè)量分別等于第三個(gè)量，則它們也相等”等都是數(shù)學(xué)公理。

公理最早出現(xiàn)在歐幾里德幾何中。當(dāng)時(shí)，隨著生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，人們關(guān)于空間形式的知識越來越豐富，從理論上加以概括和總結(jié)顯得十分必要。歐幾里德綜合了人們認(rèn)識的成果，寫出了《幾何原本》一書。這本書從點(diǎn)、線、面等最基本的概念和最簡單的關(guān)系出發(fā)，從外部世界引進(jìn)了這些概念和關(guān)系的某些性質(zhì)作為公理。從公理出發(fā)，借助于幾何圖形的直觀，應(yīng)用形式邏輯的演繹推理，把形的其他性質(zhì)推導(dǎo)出來。這些幾何公理，在理論形式上，是邏輯推理的大前提。

在數(shù)學(xué)中，從邏輯推理的角度看，實(shí)際上公理不是沒有證明過的，更不是不能證明的。公理是人們長期以來從生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來的結(jié)論。因此，它們是可以辯證地證明的，是經(jīng)過長期實(shí)踐的反復(fù)證明才取得公理資格。所以，只看到公理在數(shù)學(xué)上無法證明的一面是片面的，還必須看到公理可以辯證地（即實(shí)踐地）證明的一面；只看到公理形成后演繹的一面也是片面的，還必須看到在實(shí)踐中歸納的一面。

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來看，最初由歐幾里德給出的初等幾何公理系統(tǒng)，由于認(rèn)識水平的局限。當(dāng)時(shí)他還沒有可能深入地從一般意義上去研究公理系統(tǒng)的構(gòu)造，研究公理化方法的理論，因而給出的公理系統(tǒng)還存在著不少缺點(diǎn)。例如，在歐氏幾何的公理系統(tǒng)中，有些定義和公理是不必要的，有些定理的證明是不嚴(yán)格的。從這個(gè)意義上來說，歐幾里德幾何只能說是公理化的一個(gè)雛形，其中體現(xiàn)的公理化思想還是樸素的、原始的。

到了十九世紀(jì)末，希爾伯特克服了歐氏幾何公理系統(tǒng)中的缺點(diǎn)，形成了加工、整理數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)資料的公理化方法。希爾伯特把公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基本特性概括為五個(gè)方面，我們不難看到，公理和由它發(fā)展而來的現(xiàn)代公理化方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展一定階段的產(chǎn)物，是一種有效的科學(xué)方法。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，一般都用公理化方法建立自己的嚴(yán)謹(jǐn)體系。例如，概率論開始形成時(shí)，實(shí)踐性很強(qiáng)，后來也公理化了，這是認(rèn)識過程中一個(gè)進(jìn)步。上世紀(jì)四十年代，德國布爾巴基學(xué)派在整個(gè)數(shù)學(xué)中找出幾種基本結(jié)構(gòu)——序、代數(shù)、拓樸等，并在這些基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，把全部純數(shù)學(xué)加以整理，建立各種各樣的公理化體系，這個(gè)工作對于促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著一定的積極意義。

我們把“特殊化”作為實(shí)現(xiàn)化歸的途徑之一。因?yàn)橄鄬τ谝话銇碚f，特殊的事物往往包含人們較為熟悉的信息，這些信息的引入所產(chǎn)生的條件強(qiáng)化，顯然滿足熟悉化、簡單化的策略選擇原則；但有時(shí)人們對一般的事物比較熟悉，而對特殊的事物反而比較生疏，所以，我們把“一般化”也作為實(shí)現(xiàn)化歸的途徑，例如，把方程不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)與符號區(qū)間，母函數(shù)法以及在解析幾何中把特定的曲線方程轉(zhuǎn)化為考慮某個(gè)曲線系方程等，都是一般化歸策略的表現(xiàn)。

我們研討定理、公理的來龍去脈，目的是為了更好地運(yùn)用，如可以優(yōu)化結(jié)論的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)分析綜合能力。

例題：推導(dǎo)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”。推導(dǎo)的方法很多，方法一、二略。

方法三：運(yùn)用定義，結(jié)合等比定理設(shè)計(jì)如下推導(dǎo)方法：

方法四：整體代換法：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)－a1qn=a1+qSn－a1qn，當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=na1，

運(yùn)用定理、公理，可以優(yōu)化思想方法的滲透過程，培養(yǎng)學(xué)生理解應(yīng)用能力。

如求值sin2200+cos2800+·sin20·0cos800（如圖）。分析觀察所求代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想余弦定理表達(dá)式。BC=ksin1500=sin1500，取得 k=1，AC=ksin200=sin200，AB=ksin100=sin100，根據(jù)余弦定理 ：原式 =sin2200+sin2100-2cos1500·sin20·0sin100=sin21500=3/4

這題解法，不僅簡捷、巧妙，還滲透了數(shù)形結(jié)合方法。

當(dāng)然，我們不能把公理化方法絕對化。必須辯證地看到，公理的作用是有其局限性的。前蘇聯(lián)旺塞寧·沃爾平強(qiáng)調(diào)指出要把公理方法立刻推廣到所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去，但有的數(shù)學(xué)家則認(rèn)為，就總體來說數(shù)學(xué)不能全部都公理化，我們只能談?wù)撚嘘P(guān)一些個(gè)別數(shù)學(xué)理論的公理體系，不能把大量的問題都?xì)w于某種法則之中，有的要用特殊的方法加以解決。正如前蘇聯(lián)科爾奠戈羅夫所說，能夠找出不同于一般法則的解題程序是數(shù)學(xué)思維的基本特點(diǎn)之一。