深刻理解教學(xué)內(nèi)容，踐行“學(xué)材再建構(gòu)”
——從“分式方程增根問題”教學(xué)說起

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳愛軍

最近一次教研活動中，筆者聽了青年教師執(zhí)教的一節(jié)“分式方程的增根與無解問題”習(xí)題課，對該課題的相關(guān)問題有了深入的思考.本文先概述該課的教學(xué)片段，再圍繞分式方程的增根與“方程同解原理”給出一些闡釋，供研討.

一、“分式方程的增根與無解問題”習(xí)題課教學(xué)片段

教學(xué)片段1：復(fù)習(xí)舊知，引入新課.

學(xué)生解方程，一個(gè)學(xué)生上臺板演.

解：方程兩邊同乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-3=（x-1）（x+2）. ②

解這個(gè)方程，得x=1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）（x+2）=0，所以原分式方程無解.

學(xué)生解好后核對答案，教師講評前先在黑板上標(biāo)注了方程①、方程②.

師：x=1是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的解，但它使最簡公分母等于0，因此它不是原分式方程的解.像這樣，我們稱x=1是原方程的增根.請同學(xué)們自己總結(jié)什么是增根.

生1：它是整式方程的解，并且使最簡公分母等于0.

師：回答得很好！再請同學(xué)們思考：為什么會產(chǎn)生增根呢？

眾生靜靜思考，1分鐘后，沒有學(xué)生能回答，教師“自答”.

師：因?yàn)樵匠挞僦形粗獢?shù)x的取值范圍是x≠1且x≠-2，而去分母化為整式方程②時(shí)，方程兩邊同乘了一個(gè)等于零的整式，未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù).這樣，方程②的解就有可能不是方程①的解.可見，從方程①變形為方程②，這種變形并不能保證兩個(gè)方程的解相同.所以，解分式方程一定要檢驗(yàn).

學(xué)生求解，一個(gè)學(xué)生上臺板演.

解：方程兩邊同乘（x+1）（x-1）.

整理得：（5-k）x=-1.

由原分式方程“可能有增根”，令最簡公分母（x+1）·（x-1）=0，得x=±1.

將x=±1代入，解得k=4或k=6.

所以當(dāng)原分式方程有增根x=1時(shí)，k=6；當(dāng)原分式方程有增根x=-1時(shí)，k=4.

教師組織學(xué)生核對解答后繼續(xù)給出一道變式題.

學(xué)生先練習(xí)，然后教師巡視過程中挑中一個(gè)學(xué)生上臺板演.

解：方程兩邊同乘（x+1）（x-1）.

整理得：（5-k）x=-1 ①.

若原分式方程無解，可能是產(chǎn)生了增根，令最簡公分母（x+1）（x-1）=0，得x=±1.

將x=±1代入①，解得k=4或k=6.

所以當(dāng)k=4或k=6時(shí)，原方程無解.

針以上述漏解，教師進(jìn)行訂正，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程①，這個(gè)整式方程也可能出現(xiàn)無解的情況，即當(dāng)k-5=0時(shí)，整式方程出現(xiàn)無解的情形，所以這道變式題的“無解”并不只對應(yīng)著分式方程可能產(chǎn)生增根的情況.綜上，原分式方程無解時(shí)，k=4、k=5或k=6.

二、分式方程為什么會產(chǎn)生增根

讓我們先從方程求解的根據(jù)說起，解方程的過程無非是不斷地用新方程替代舊方程直到新方程是一個(gè)或幾個(gè)形如x=a的方程時(shí)為止的替代過程，在這個(gè)過程中，只有逐步替代的方程的解集總和被替代方程的解集完全相同時(shí)，才能保證最后一個(gè)或幾個(gè)形如x=a的方程的解集與原方程的解集相同，才能既不產(chǎn)生增根，也不減少根的個(gè)數(shù).

這里再鏈接“舊人教版”教材上關(guān)于同解方程、同解變形及原理的有關(guān)表述：我們把解集相同的方程叫同解方程，把方程變形為與它必同解的方程叫同解變形，把方程變形為未必與它同解（即有時(shí)同解，有時(shí)不同解）的方程的變形叫非同解變形.為了徹底弄清解方程時(shí)方程變形的理論，我們再列出有關(guān)同解變形的幾個(gè)原理：

原理1：方程兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)整式，所得方程與原方程是同解方程；

原理2：方程兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程與原方程是同解方程；

原理3：方程兩邊都乘同一個(gè)含有未知數(shù)的整式，所得方程的解可能比原方程的解多，從而造成增根；

原理4：方程兩邊都除以同一個(gè)含未知數(shù)的整式，所得方程的解可能比原方程的解少，從而造成失根；

原理5：方程兩邊同時(shí)乘方相同的次數(shù)，所得方程的解可能比原方程的解多，從而造成增根.

可見，原理1、2是同解變形，原理3、5是可造成增根的非同解變形，而原理4則是可能造成失根的非同解變形.

查閱現(xiàn)行人教版七年級上冊教材，關(guān)于方程解法的依據(jù)是以“等式性質(zhì)”給出的，而等式的性質(zhì)2表述為“等式兩邊同乘一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等”，這與“同解原理2”是不同的.

現(xiàn)在來看分式方程是怎樣轉(zhuǎn)化為整式方程的.如果我們能夠?qū)⒎匠套冃危沟萌サ舴帜?，就能使分式方程化為整式方程，用已知的整式方程的求解方法求?為了完成這種變形，不可避免地要應(yīng)用原理3，兩邊同乘分母的最小公倍式，與此同時(shí)，破壞了方程的同解性，驗(yàn)根則是不可避免的.接下來值得思考的就是，怎樣驗(yàn)根才是最簡便的？想清楚去分母這一步驟的潛在風(fēng)險(xiǎn)之后，就知道驗(yàn)根其實(shí)就是檢驗(yàn)這一步驟是否滿足同解原理，從而確認(rèn)分式方程的驗(yàn)根只要代入最簡公分母就可以了.

三、關(guān)于數(shù)學(xué)知識深刻理解的進(jìn)一步思考

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，“知其然，知其所以然”

傅種孫先生說，教學(xué)需要追求讓學(xué)生“知其然，知其所以然”.要實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)品質(zhì)，前提是教師本人不斷加深對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，也就是旅美數(shù)學(xué)教育學(xué)者馬立平博士所指出的，追求數(shù)學(xué)知識理解的深度、廣度、貫通度.就上文提及的分式方程的增根問題，我們不但要讓學(xué)生知道需要驗(yàn)根，還要讓優(yōu)秀學(xué)生理解為什么需要驗(yàn)根，這種驗(yàn)根并不是簡單地檢驗(yàn)計(jì)算有無粗心、錯漏，而是對解法依據(jù)的完善與檢查，是必不可少的步驟，也是數(shù)學(xué)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn)，上升到這樣的高度來幫助學(xué)生理解，不只是訓(xùn)練了分式方程的增根問題的求解，更是對學(xué)科素養(yǎng)的熏陶.

2.研習(xí)不同版本教材，在對比優(yōu)選中重組“學(xué)材”

專家教師李庾南老師近年來提出“學(xué)材再建構(gòu)”，主張基于數(shù)學(xué)知識深理解的角度對教學(xué)內(nèi)容重組后呈現(xiàn)，倡導(dǎo)開展單元教學(xué)，讓學(xué)生先見森林、再見樹木.在觀摩研習(xí)李老師很多課例的過程中，我們發(fā)現(xiàn)李老師很多教學(xué)課例并不囿于某一種版本教材，而是融會貫通，對比不同教材并優(yōu)選重組學(xué)材.筆者曾多次參與李庾南實(shí)驗(yàn)學(xué)校的教研活動，像上文分式方程增根問題的教學(xué)，李老師在自己的班級上教七年級學(xué)生一元一次方程時(shí)，就曾給她的學(xué)生補(bǔ)充過方程同解變形及相關(guān)原理，這樣到了八年級再教學(xué)分式方程時(shí)，她班的學(xué)生就很自然地想到解分式方程的各步依據(jù)是否符合同解變形，當(dāng)存在風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，就會想到需要進(jìn)一步驗(yàn)證、確認(rèn)，這也就提示我們，在平時(shí)的備課活動中，手頭不只是準(zhǔn)備一種版本的教材，而要收集不同版本的教材，并時(shí)時(shí)研習(xí)、對比，以便在對比后優(yōu)選形成更適合本班學(xué)情的“學(xué)材”.

3.專業(yè)研判增設(shè)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生重視相關(guān)內(nèi)容

一個(gè)教學(xué)現(xiàn)實(shí)是，目前數(shù)學(xué)課時(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于教材內(nèi)容課時(shí)的，實(shí)際教學(xué)中會有相當(dāng)多的習(xí)題課、復(fù)習(xí)課、試卷講評課，這些課堂教學(xué)的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有得到應(yīng)有關(guān)注.我們在一些隨堂聽課中更多的是看到就題講題，比如，針對家庭作業(yè)選用的教輔資料的講評訂正，針對階段檢測、單元檢測、期中檢測、期末檢測試卷的講評.像上文中以分式方程的增根問題增設(shè)一節(jié)習(xí)題課的做法在日常教學(xué)中也是常態(tài)，教師并沒有因?yàn)榻滩纳蠜]有相關(guān)內(nèi)容就弱化對這些教學(xué)內(nèi)容的要求.我們希望上文中分式方程增根問題的教學(xué)，不只是因?yàn)楦骷壙荚囍袑Ψ质椒匠淘龈?xí)題的“現(xiàn)實(shí)引領(lǐng)”，更重要的是教師能站在理解數(shù)學(xué)的高度，基于方程同解變形、原理的角度促進(jìn)學(xué)生想清辨明、想深想活.