追根溯源 直擊本質(zhì)
——一道中考題的典型錯(cuò)解及教學(xué)思考

☉福建省廈門市海滄中學(xué) 藍(lán)文英

解題反思不僅關(guān)系到學(xué)生對(duì)題目的理解、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的應(yīng)用，更關(guān)系到數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)與領(lǐng)悟，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的建立和學(xué)生思維的拓展.本文由一道中考題的錯(cuò)解出發(fā)，深入挖掘錯(cuò)題背后的原因，追根溯源探究問題本質(zhì)，談一談解題教學(xué)思考.

一、試題呈現(xiàn)

（2018年福建中考數(shù)學(xué)卷第23題）如圖1，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

圖1

（1）若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長.

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值.

本題滿分10分，全市學(xué)生平均分不到5分，得分率偏低.筆者有幸參加中考閱卷，注意到典型錯(cuò)誤主要集中為以下四類.

二、典型錯(cuò)誤

1.走馬觀花，審題不清

錯(cuò)解1：（1）當(dāng)a=20時(shí)，由于矩形對(duì)邊相等，則AD=BC=20.

（2）設(shè)AD=x米，則0＜x≤20.

分析：錯(cuò)解1和錯(cuò)解2屬于典型的閱讀題目不認(rèn)真，錯(cuò)解1把舊墻MN的長看成矩形菜園的邊AD的長，錯(cuò)解2誤認(rèn)為矩形菜園四邊都是由100米長的木欄圍成.錯(cuò)解3解題思路正確，離標(biāo)準(zhǔn)答案一步之遙，即沒有檢驗(yàn)一元二次方程的根是否符合實(shí)際問題的意義，僅僅考慮數(shù)學(xué)問題而忽略問題背景.錯(cuò)解4第（1）問成功解決，第（2）問x的取值范圍出錯(cuò)，未能弄清楚第（1）、（2）問屬于兩個(gè)獨(dú)立的問題，雜糅在一塊.除此之外，對(duì)二次函數(shù)的增減性理解不深刻，錯(cuò)認(rèn)為函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.從以上解答不難發(fā)現(xiàn)：學(xué)生審題不認(rèn)真、走馬觀花，閱讀理解能力弱，缺乏對(duì)題意的推敲，對(duì)關(guān)鍵語句 “其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄”沒能好好利用就倉促解題.

2.運(yùn)算能力弱，基本功不扎實(shí)

錯(cuò)解5：（1）設(shè)AB=x米，則AD=BC=100-2x，則x（100-2x）=450.則100x-2x2=450，即2x2-100x-450=0.則x2-50x-225=0.利用求根公式解得（負(fù)的舍去），則AB=25+米，則舊墻AD=100-2（25+5=50-米）.

錯(cuò)解6：（1）設(shè)AB=x米，則AD=BC=100-2x，則x（100-2x）=450.則100x-2x2=450，即2x2-100x-450=0.則x2-50x-225=0，根據(jù)求根公式有

我是來至中國石油工程建設(shè)公司的葉樺，畢業(yè)后一直從事EPC 工程的設(shè)計(jì)和咨詢工作。眾所周知，任何涉及到石油天然氣行業(yè)的工程都是一項(xiàng)龐大而系統(tǒng)的工作，不可能由一個(gè)人或者幾個(gè)人完成，其中涉及到繁多的工作界面劃分與專業(yè)分工劃分。因此，在設(shè)計(jì)工作中不僅要處理好技術(shù)性文件和圖紙等，還會(huì)涉及到很多溝通，協(xié)調(diào)，統(tǒng)籌安排的工作。

分析：錯(cuò)解5和錯(cuò)解6中，學(xué)生基本能正確解讀題意，解題方向明確，可是由于計(jì)算能力欠缺，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).錯(cuò)解5錯(cuò)在解一元二次方程時(shí)，移項(xiàng)后忘記變號(hào).錯(cuò)解6不僅移項(xiàng)后忘記變號(hào)，而且在求根的判別式時(shí)，方程x2-50x-225=0的常數(shù)項(xiàng)-225漏掉負(fù)號(hào)，錯(cuò)上加錯(cuò).上述解答興許是學(xué)生馬虎導(dǎo)致，但不是個(gè)例，具有典型的代表性，恰巧說明學(xué)生運(yùn)算能力不過關(guān)，對(duì)算理、算法理解不透徹.

3.思維不嚴(yán)謹(jǐn)，條理不清晰

錯(cuò)解7：（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)面積最大.

錯(cuò)解8：（2）設(shè)AD=x米，則0＜x≤a.矩形菜園ABCD的面積1250，當(dāng)x=50時(shí)，S取得最大值.

錯(cuò)解9：（2）設(shè)AD=x米，則0＜x≤a.矩形菜園ABCD的面積則當(dāng)x=a時(shí)，S取得最大值.

錯(cuò)解10：（2）設(shè)AB=x米，則AD=BC=（100-2x）米.矩形菜園ABCD的面積為S=x（100-2x）=100x-2x2=-2x2+100x=-2［（x-25）2-625］=-2（x-25）2+1250.則當(dāng)x=25時(shí)，S取得最大值.

錯(cuò)解11：設(shè)AB=x米，則AD=BC=（100-2x）米.又AD≤MN且MN=a，則100-2x≤a，即x≥

矩形菜園ABCD的面積S=x（100-2x）=100x-2x2=-2［（x-25）2-625］=-2（x-25）2+1250.則當(dāng)x=25時(shí)，S取得最大值.

4.解題不規(guī)范，書寫不當(dāng)

錯(cuò)解12：（1）設(shè)AB=x米，則AD=100-2x，則x（100-2x）=450，則x=45，則AD=10米.

解法13：（2）因?yàn)椴藞@是矩形，所以矩形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角.所以有對(duì)邊AB=DC，AD=BC.設(shè)AB=x米，則AD=BC=（100-2x）米.又AD≤MN且MN=a，則100-2x≤a，則-2x≤a-100，則，即x≥.矩形菜園ABCD的面積等于長乘寬，長為AD，寬為AB，所以面積S=x（100-2x）=100x-2x2=-2x2+100x=-2（x2-50x）=-2（x2-50x+252-625）=-2［（x-25）2-625］=-2（x-25）2+1250.則當(dāng)x=25時(shí)，S取得最大值.

分析：錯(cuò)解12的解答過程過于簡單，跳步多；解法13卻過于煩瑣.可以看出在日常解題教學(xué)中，有一部分學(xué)生忽略解題步驟的重要性，欠缺該方面的訓(xùn)練和指導(dǎo).另一部分學(xué)生則分不清楚何為必不可缺的解題步驟，無論是否必要，通通一股腦往答題紙上寫.可見，教師在平常的教學(xué)中，對(duì)學(xué)生板書的示范指導(dǎo)甚為重要.

三、幾點(diǎn)思考

本題屬于典型的“舊瓶裝新酒”問題，學(xué)生初看題目有似曾相識(shí)之感，頗為熟悉，但是要解答準(zhǔn)確卻需扎實(shí)的基本功.從以上13種錯(cuò)解典型不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題技能欠缺，解題反思不夠，無法對(duì)一類題型觸類旁通.此外，沒有形成完整的解題步驟和思路，缺乏審題意識(shí)、計(jì)算能力弱、邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，針?duì)此問題提出以下兩點(diǎn)思考.

1.關(guān)注解題反思，在學(xué)中思，在思中學(xué)

該題在本卷中屬于中等偏上難度的題，具有一定的思維含量和區(qū)分度.學(xué)生看到題目覺得熟悉，讀完題目又覺得似懂非懂，導(dǎo)致思維混亂，漏洞百出，究其原因，有以下幾點(diǎn)：審題不清楚、思考不深入、計(jì)算不扎實(shí)、解題不規(guī)范.因此，教師在平時(shí)解題教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生多反思，反思錯(cuò)因，反思數(shù)學(xué)思想方法與技能.訓(xùn)練學(xué)生的審題能力和閱讀技巧，可以逐字逐句閱讀題目，一遍不夠?qū)徣?，同時(shí)用筆圈起關(guān)鍵條件，甚至可以記錄在稿紙上.可以按照三問法步驟執(zhí)行“知什么，做什么，怎么做”，梳理清楚題目條件和結(jié)構(gòu)，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而形成一套屬于自己的審題方法.

追根溯源反思解題過程中數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，做到聞一知十.比如，本題實(shí)質(zhì)是考查一元二次方程的解法、二次函數(shù)的最值問題，并且在解答的過程中考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，以及其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.所以在實(shí)際教學(xué)中，要注意鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，適當(dāng)拓展高階思維.同時(shí)注重對(duì)基本概念、基本模型的滲透，無論數(shù)學(xué)問題以何種形式出現(xiàn)，學(xué)生都能做到有的放矢，觸及本質(zhì).

教學(xué)中要多給學(xué)生計(jì)算的時(shí)間，計(jì)算失誤不能每次都?xì)w根于粗心，運(yùn)算能力高低與否除了加強(qiáng)訓(xùn)練，還要全方位滲透算法、算理.教師多強(qiáng)調(diào)、多提醒，幫助學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的好習(xí)慣.對(duì)以生活情景為背景的數(shù)學(xué)問題，還要考慮自變量的取值范圍是否符合實(shí)際意義，時(shí)刻不忘數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活的基本宗旨.

此外，優(yōu)化解題方式、規(guī)范解題步驟也離不開教師的引導(dǎo)和示范.數(shù)學(xué)題的解答過程，不僅要條理清晰，而且要有理有據(jù).數(shù)學(xué)語言要簡練而言之有物，切不可煩瑣冗長.教師講解例、習(xí)題時(shí)，要善于進(jìn)行板書示范，在學(xué)生板演過程中全班共同探討何為不可或缺的步驟，何為可以省略的步驟，讓書寫真正做到整潔、精練，具有美感.

2.吃透教材例、習(xí)題，化舊為新，活學(xué)活用

中考題大多數(shù)為新命制的原創(chuàng)題，母題來源往往是教材例題或習(xí)題.以本題為例，可在人教版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)這章找到它的原型.因此，教師要重視對(duì)教材典型例題、習(xí)題的開發(fā)、研究和拓展.把例題、習(xí)題作為中考復(fù)習(xí)的第一手素材，適當(dāng)改編幫助學(xué)生拓展思維，挖掘母題的內(nèi)涵和外延，積累豐富的解題體驗(yàn)，總結(jié)出一題多解、一法多題的通性、通法.俗話說的好，“做錯(cuò)題目不可怕，題后反思是王道”.“思中學(xué)，學(xué)中思”，通過解題反思提高解題能力，達(dá)到做一題、會(huì)一類的效果，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.