關(guān)注非常規(guī)解法，發(fā)展學(xué)生高階思維

☉江蘇省灌南縣第四中學(xué) 朱延波

發(fā)展學(xué)生高階思維、培養(yǎng)學(xué)生能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革與發(fā)展的總體目標(biāo)，教師應(yīng)著眼于學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化并激發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生多種優(yōu)良品質(zhì)以幫助學(xué)生順利達(dá)成此目標(biāo).筆者認(rèn)為，與學(xué)生共同探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的非常規(guī)解法對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)來(lái)說(shuō)是極有價(jià)值的.

一、在問(wèn)題的非常規(guī)解法中鍛煉學(xué)生思維的創(chuàng)造性

激發(fā)學(xué)生興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性并鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中鍛煉思維的創(chuàng)造性是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，因此，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的非常規(guī)解法進(jìn)行探討并令枯燥的知識(shí)變得更具“活力”，使學(xué)生能夠敢于突破常規(guī)并運(yùn)用新方法進(jìn)行思考和解題，最終在突破思維定式的獨(dú)立思考中獲得創(chuàng)造思維能力的提高.

例1 解方程：x3+（）x2-2=0.

解析：這是一個(gè)采用常規(guī)解法不易求解的題目，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生突破常規(guī)并與學(xué)生共同分析，將方程化為（）2-x2-（x2+x3）=0，原方程也就轉(zhuǎn)化成了以為未知數(shù)的一元二次方程，運(yùn)用因式分解將其變形為（+x）（x-x2）=0，解得，

例2 若有關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+a-b=0（b≠c），且方程有相等的實(shí)數(shù)根，求證：2b=a+c.

分析：由一元二次方程根的判別式Δ=0出發(fā)進(jìn)行解題是本題的常規(guī)證明方法，變形、因式分解后可得（2ba-c）2=0，不過(guò)這一過(guò)渡的步驟對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，從三者之和等于0來(lái)獲得關(guān)于x的一元二次方程有相等實(shí)根的結(jié)論，獲得相等實(shí)根x1=x2=1以及本題的非常規(guī)證明方法.

證明：已知關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+a-b=0（b≠c）的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之和等于0，且有相等實(shí)數(shù)根x1=x2=1.

則a-b=b-c，即2b=a+c.

由此可見(jiàn)，當(dāng)問(wèn)題難以解決或不能解決時(shí)，應(yīng)及時(shí)改變思維方向并尋求解題突破，學(xué)生的思維往往能夠在突破過(guò)程中獲得質(zhì)的飛躍.

二、在問(wèn)題的非常規(guī)解法中鍛煉學(xué)生思維的靈活性

教師可以引導(dǎo)學(xué)生將一些非本質(zhì)的、次要的因素舍棄并緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行解題的思考，使學(xué)生思維的靈活性能夠獲得鍛煉.

分析：將分式方程化成整式方程求解是本題的常規(guī)解法，不過(guò)，運(yùn)用這一解法會(huì)出現(xiàn)一元高次方程且過(guò)程復(fù)雜.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將x2+x看成一個(gè)整體并利用換元法進(jìn)行解題.

解：設(shè)x2+x=y，則原方程變?yōu)?y+1，解得y1=-3，y2=2.

當(dāng)y1=-3時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)y2=2時(shí)，解得x1=-2，x2=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=-2，x2=1都為原方程的根.

三、在問(wèn)題的非常規(guī)解法中鍛煉學(xué)生思維的批判性

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、提出疑問(wèn)并進(jìn)行正誤的辨別，往往能令學(xué)生在批判思維中獲得最佳方法與答案.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不迷信、不盲從現(xiàn)有解法并不斷提出自己的新想法、新假設(shè)與新論斷，使學(xué)生在有意識(shí)的引導(dǎo)與有計(jì)劃的訓(xùn)練中獲得思維批判性的發(fā)展.

例4 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），試推導(dǎo)其求根公式.

很多學(xué)生在這樣的推導(dǎo)過(guò)程中獲得的感知往往只是公式的機(jī)械記憶，不僅如此，很多學(xué)生還會(huì)在推導(dǎo)中形成2a的誤解，對(duì)于如此推導(dǎo)的緣由更是不得其解.教師如果能夠啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行以下思考，那么上述弊病就能得到有效避免.

解：原方程兩邊同乘4a，可得4a2x2+4abx+4ac=0，配方可得（2ax+b）2=b2-4ac ①.

評(píng)注：判別式Δ=b2-4ac的實(shí)質(zhì)在①中得到了揭示，它是一個(gè)完全平方式（2ax+b）2；②式則將方程的三個(gè)基本問(wèn)題進(jìn)行了解決：是否有實(shí)數(shù)根？（由Δ=b2-4ac的符號(hào)決定）實(shí)數(shù)根有幾個(gè)？（兩個(gè)）如何求根？（公式本身）

四、在問(wèn)題的非常規(guī)解法中鍛煉學(xué)生思維的廣闊性

引導(dǎo)學(xué)生跳出一定的常規(guī)操作并進(jìn)行縱橫聯(lián)系的多角度的問(wèn)題思考，往往能令學(xué)生的思維呈輻射狀展開(kāi)并展開(kāi)廣泛的聯(lián)想，使陳題獲得新的解法并令學(xué)生在陳題中獲得視野的開(kāi)闊與思維能力的拓展.

例5 已知方程x2+px+q=0，求根是原方程各根2倍的一元二次方程.

分析：先求出已知方程的兩個(gè)根并借助已知條件和根與系數(shù)的關(guān)系求出新方程是本題的常規(guī)解法，不過(guò)解題過(guò)程是比較煩瑣的.教師在具體的解題教學(xué)中，如果能引導(dǎo)學(xué)生著眼于已知條件并借助根的定義進(jìn)行解題，則其過(guò)程會(huì)更迅速和巧妙.

解：設(shè)已知方程的根和所求方程的根分別為x和y.由已知得y=2x，即，代入已知方程可得0，即y2+2py+4q=0，即為所求方程.

除此之外，教師還可以在解題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所求方程與已知方程的系數(shù)進(jìn)行對(duì)比并總結(jié)該類(lèi)問(wèn)題的求解規(guī)律與方法，使學(xué)生能夠在思考、總結(jié)中逐步提升解題與歸納能力.

例6 已知x2+2x-1=0，求2x4+x3-3x2+13x+2015的值.

分析：由x2+2x-1=0求出x的值并代入所求算式進(jìn)行求值是此題的常規(guī)解法，但過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)講是十分復(fù)雜的.教師在此題的解題教學(xué)中，可以首先將數(shù)學(xué)整體思想傳授給學(xué)生，將x2+2x視作整體，再將2x4+x3-3x2+13x+2015適當(dāng)變形，將x2+2x-1=0代入求解，這一非常規(guī)解法令此題的求解簡(jiǎn)便很多.

解：x2+2x-1=0，則x2+2x=1.

2x4+x3-3x2+13x+2015=2x2（x2+2x）-3x（x2+2x）+3（x2+2x）+7x+2015

=2x2-3x+3+7x+2015

=2（x2+2x）+2018

=2020.

教師啟發(fā)學(xué)生對(duì)非常規(guī)解法進(jìn)行探索的過(guò)程中，一定要重視學(xué)生感悟的作用，并令學(xué)生的猜想能力、發(fā)散思維獲得鍛煉與發(fā)展.

例7 已知300只雞和兔共有1000只腳，則雞和兔的數(shù)量各有多少？

分析：教師在此題的教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下猜想，問(wèn)題的解決對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也就不難了：假設(shè)每只兔子和每只雞分別同時(shí)抬起兩條腿和一條腿，此時(shí)雞和兔的支撐腳共有500只，則兔子有500-300=200（只），因此此時(shí)如果每只動(dòng)物再抬起一條腿，還能支撐站在地上的腳必然是兔子的，因此兔子的數(shù)量必然是以上兩數(shù)相減的差.

例8 若兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之積為323，這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

解法1：設(shè)兩數(shù)中較小的奇數(shù)是x，則另一奇數(shù)為x+2.由題意可得x（x+2）=323，解得x1=17、x2=-19.因此這兩個(gè)奇數(shù)應(yīng)為17、19或-17、-19.

12數(shù)應(yīng)為17、19或-17、-19.

解法3：設(shè)x為任意整數(shù)，由題意可得這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)應(yīng)為2x-1、2x+1.由題意可得（2x+1）（2x-1）=323，解得x1=9，x2=-9.因此這兩個(gè)奇數(shù)應(yīng)為17、19或-17、-19.

解法4：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x-1、x+1.由題意可得（x+1）（x-1）=323，解得x1=18，x2=-18.因此這兩個(gè)奇數(shù)應(yīng)為17、19或-17、-19.

因此，教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)有目的、有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行非常規(guī)解法的探索，使學(xué)生能夠在一定的訓(xùn)練中對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答形成新的思想，在靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程中不斷提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在有計(jì)劃的非常規(guī)解法的思想熏陶之下獲得思維品質(zhì)的不斷提升.不過(guò)，值得教師注意的是，數(shù)學(xué)問(wèn)題非常規(guī)解法的探索訓(xùn)練及學(xué)生思維品質(zhì)的提升并不是一朝一夕就能達(dá)成的，教師在這樣一個(gè)復(fù)雜而又系統(tǒng)的領(lǐng)域中應(yīng)堅(jiān)持不斷實(shí)踐、探索和總結(jié)，使學(xué)生能夠在有意義的引導(dǎo)與訓(xùn)練中取得良好的學(xué)習(xí)效果.