打破思維定式 探索一題多解

摘 要：到了高三，同學(xué)們都要做大量的數(shù)學(xué)題，不得不在題海里“暢游”，很苦也很累，追求題目數(shù)量的人多，追求題目質(zhì)量的人相對較少，事倍功半者大有人在。如果同學(xué)們對經(jīng)典的題目多一些思考，質(zhì)疑，特別是當(dāng)題目解出后，能不滿足現(xiàn)狀，打破思維定式，更進(jìn)一步反思，從不同的側(cè)面，不同的角度，用不同的思路，不同的方法，去琢磨有沒有更好的，更簡捷的方法去解答，探索一題多解，拓寬自己的解題思路，一旦有了這種想法和意識，往往會收到意想不到的效果，找到更加獨(dú)特新穎的解法，并享受成功后的快樂，提高學(xué)習(xí)興趣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好基礎(chǔ)。下面通過兩個例題，希望對同學(xué)們有所啟迪，供參考。

關(guān)鍵詞：一題多解；興趣；基礎(chǔ)

【例1】 已知正方體ABCD棱長為a，求相鄰兩面對角線BD和CD1間的距離。

解法1 定義法

分析 圖（一） 如何找到異面直線的公垂線段是關(guān)鍵。

因BD⊥AC，BD⊥CC1，所以BD⊥面ACC1，所以BC⊥AC1，同理CD1⊥AC1，這樣AC1就是BD和CD1的公垂線，那么BD和CD1的公垂線段應(yīng)于AC1平行且于BD和CD1相交。取AD中點E，連接EC交BD于F，過F作EM的平行線交CD1于N，則FN就是BD和CD1的公垂線段。因△BFC∽△DFE，所以DEBC=EFFC=12，F(xiàn)N=23EM=33a。

解法2 轉(zhuǎn)化法（1）

分析 圖（二） 因CD1∥BA1，所以CD1∥面A1BD，那么BD和CD1的距離就是CD1和面A1BD的距離，也就是點C到面A1BD的距離d，可用等體積法來求。由VA1-BCD=VC-A1BD得d=33a。

解法3 轉(zhuǎn)化法（2）

分析 圖（三） 因BD∥B1D1，CD1∥BA1，知面A1BD∥面B1CD1，那么BD和CD1的距離就是面A1BD/和面B1CD1間的距離，設(shè)AC1于面A1BD交與點O1，AC1于面B1CD1交與點O2，點A到面A1BD之距為d1，點C1到面B1CD1之距為d2，用等體積法易得d1=33a，d2=33a，所以O(shè)1O2=3a-（d1+d2）=33a。

解法4 坐標(biāo)法

分析 圖（四） 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（a，a，0），C1（a，a，a），D（0，a，0），由于AC1是異面直線BD和CD1的公垂線，所以異面直線BD和CD1的距離d=AC1·DC|AC1|=33a。

解法5 基底向量法

分析 取{AB，AD，AA1}為空間的一組基底，并設(shè)AB=e1，AD=e2，AA1=e3，則AC1=e1+e2+e3，所以異面直線BD和CD1的距離d=AC1·DC|AC1|=33a。

現(xiàn)在的學(xué)生大多都用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解高考中的立體幾何題，但是，如果給出的幾何圖形不規(guī)范的話，建系就不太方便，用取基底向量法就容易一些。

解法6 運(yùn)動的觀點

分析 圖（五） 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點P為BD上動點，Q為AD1上動點，設(shè)P（x，a-x，0），Q（0，y，y），x∈[0，a]，y∈[0，a]，因為BD與CD1之距就是BD與AD1之距，即|PQ|min，

則|PQ|2=x2+（a-x-y）2+y2

=2（x+y）2-2a（x+y）-2xy+a2

≥32（x+y）2-2a（x+y）+a2

=32（x+y）-23a2+13a2

當(dāng)x+y=23a且x=y=13a時，|PQ|2min=13a2，故|PQ|min=33a。

【例2】 【2014年廣東，理3】若變量x，y滿足約束條件y≤xx+y≤1y≥-1且z=2x+y的最大值和最小值分別為M和m，則M-m= 。

解法1 線性規(guī)劃法

由已知得y=-2x+z，z為直線在y軸上的截距，如圖，顯然，在點A（-1，-1）處Zmin=-3，在點B（2，-1）處Zmax=3，所以M-m=6。

解法2 待定系數(shù)法

把2x+y用x-y和y表示出來，z=2（x-y）+3y≥-3，此時x-y=0y=-1，即x=-1y=-1時，Zmin=-3；同理z=2（x+y）+（-y）≤3，此時x+y=1-y=1，即x=2y=-1時，Zmax=3。

解法3 向量法

設(shè)a=（2，1），b=（x，y），z=2x+y=（2，1）·（x，y）=5·x2+y2·cosθ。其中θ為向量a=（2，1）與b=（x，y）的夾角。這樣只需求區(qū)域內(nèi)動向量b=（x，y）在定向量a=（2，1）上的投影，將點A（-1，-1）和點B（2，-1）代入即得Zmin=-3，Zmax=3。

解法4 增量法

因為z=2x+y=x+x+y，設(shè)x=z3+ty=z3-2t，代入y≤xx+y≤1y≥-1，解得t≥0z≤32+32tz≥6t-3，即6t-3≤z≤32+32t，所以t∈[0，1]，當(dāng)t=1時，Zmax=3，此時x=2y=1；當(dāng)t=0時，Zmin=-3，此時x=-1y=-1。

解法5 構(gòu)造法

聯(lián)想到點到直線的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2，構(gòu)造d=5·|2x+y|5，可將上式看作動點（x，y）到定直線2x+y=0的距離，易知在點B（2，-1）或在點A（-1，-1）處，dmax=3，所以有0≤|z|≤3，即Zmin=-3，Zmax=3，從而M-m=6。

【例3】 【2017高考，山東文12題】若直線xa+yb=1（a>0，b>0），過點（1，2），則2a+b的最小值為 。

解法1 “1”的替換

因xa+yb=1（a>0，b>0），過點（1，2），所以1a+2b=1，2a+b=（2a+b）·1a+2b=ba+4ab+4≥2ba·4ab+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，即a=2，b=4時取“=”。

解法2 消元法

因為1a+2b=1，所以b=2aa-1，所以2a+b=2a+2aa-1=2a+2+2a-1=2（a-1）+2a-1+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時取“=”。

解法3 構(gòu)造柯西不等式

2a+b=（2a+b）·1a+2b≥（2+2）2=8，當(dāng)且僅當(dāng)2a1a=b2b，即a=2，b=4時取“=”。

解法4 構(gòu)造基本不等式

由1a+2b=1得，2a+b=ab，2（2a+b）=2a·b≤2a+b22，所以2a+b≥8，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b即a=2，b=4時取“=”。

解法5 構(gòu)造一元二次方程

設(shè)2a+b=t，則b=t-2a，代入2a+b=ab中整理得2a2-at+t=0，因為方程有正根，所以Δ=t2-8t≥0即t≥8且當(dāng)t=8時a=2，b=4時2a+b的最小值為8。

【例4】 【2016課標(biāo)全國1】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程（x+y）2+y2=25。

（1）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C得極坐標(biāo)方程；

（2）直線l的參數(shù)方程是x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)），l與C交于A，B兩點，|AB|=10求l的斜率。

解析 （1）由x=ρcosθy=ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0。

（2）解法1 直線l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x=kx，因為|AB|=10，由點到直線的距離公式得，圓心（-6，0）到直線l的距離d=|-6k|1+k2=3102，所以k2=53，即k=±153。

解法2 在（1）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=θ（ρ∈R），設(shè)A、B兩點對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosθ+11=0，于是ρ1+ρ2=-12cosθ，ρ1·ρ2=11，所以|AB|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=144cos2α-44，由|AB|=10得，cos2α=38，tanα=±153，即l的斜率為153或-153。

解法3 將l的參數(shù)方程x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)）代入圓C的方程（x+6）2+y2=25，得t2+12cosαt+11=0，于是t1+t2=-12cosα，t1·t2=11，由直線參數(shù)方程t的幾何意義得|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2=144cos2α-44，由|AB|=10得，cos2α=38，tanα=±153，即l的斜率為153或-153。

【例5】 【必修5第44頁】在等差數(shù)列{an}中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為90，求第21項到第30項的和。

解法1 公式法

由題意知s10=310，s20-s10=910，將它們代入公式s=na1+n（n-1）2d，得10a1+45d=31020a1+190d-310=910，解得a1=4d=6，所以a21=4+20×6=124，a30=4+29×6=178，于是，第21項到第30項的和為10（124+178）2=1510。

解法2 性質(zhì)法

因為{an}是等差數(shù)列，所以，s10，s20-s10，s30-s20，也成等差數(shù)列，2（s20-s10）=s10+（s30-s20），得s30-s20=1510。

解法3 函數(shù)法

設(shè)sn=An2+Bn，由s10=310，s20-s10=910，得s20=1220，所以100A+10B=310400A+20B=1220，解得A=3B=1，所以sn=3n2+n，即s30-s20=1510。

解法4 構(gòu)造法

構(gòu)造一個新數(shù)列snn，由于{an}是等差數(shù)列，所以數(shù)列snn也是等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d，則因s10=310，s20=120，所以d=s2020-s101020-10=3，snn=s1010+（n-10）d=3n+1，所以sn=3n2+n，這樣，第21項到第30項的和為s30-s20=1510。

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟。波利亞強(qiáng)調(diào)指出：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”。同學(xué)們只要在平時的解題后積極反思，不斷反思總結(jié)自己的解題經(jīng)驗，善于抓住時機(jī)，捕捉靈感，有意適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一題多解，每當(dāng)遇到新題時才可能會產(chǎn)生出一個解題的好念頭，這個好念頭會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地向你建議該怎么做，長期堅持一題多解可以激發(fā)自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深對所學(xué)知識的理解，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和對數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用能力，開闊解題視野，進(jìn)而訓(xùn)練自己思維的靈活性，深刻性，創(chuàng)造性。正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。

參考文獻(xiàn)：

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[3]數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].2015.8.

作者簡介：

朱榮，甘肅省臨夏回族自治州，康樂一中。