橢圓離心率問題的求解策略芻議

晏小月

摘 要：離心率是描述圓錐曲線形狀特征的一個(gè)重要指標(biāo)，其內(nèi)涵豐富且綜合性強(qiáng)。橢圓的離心率是橢圓的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，它是反映橢圓形狀即圓扁程度的幾何量。橢圓離心率的求解與應(yīng)用是各級(jí)訓(xùn)練測(cè)試的熱點(diǎn)之一，學(xué)生應(yīng)抓住題目關(guān)鍵，掌握相應(yīng)方法，加深對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解與掌握，提高數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：橢圓離心率；數(shù)學(xué)教學(xué)；求解策略；三角函數(shù)；幾何方程

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2018）30-0072-02

一、前言

橢圓的離心率是描述橢圓“扁平”程度的一個(gè)重要的量，而求橢圓離心率的取值范圍問題在各級(jí)各類試題中屢見不鮮。橢圓離心率問題不僅涉及橢圓的定義、幾何性質(zhì)、方程、向量、直線與橢圓的位置關(guān)系以及三角函數(shù)等多方面知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，同時(shí)解題過程中還考查學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)方法選擇能力等。橢圓的離心率e是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)幾何量，當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，b越接近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c就越接近于0，b越接近于a，橢圓越圓；當(dāng)e為0，即c=0時(shí)，橢圓就變?yōu)閳A（即e越小，橢圓越圓）。在橢圓離心率的求解問題中，經(jīng)常考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題以及向量的運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)。本文根據(jù)解答橢圓離心率的幾種方法對(duì)求解策略進(jìn)行歸納。

二、例題解答

例1，如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，F(xiàn)1、F2分別是橢圓 + =1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C。1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為﹙ ， ），且BF2= ，求橢圓的方程；2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值。

解：∵已知B（0，b），F(xiàn)2（c，0）在直線AB上，∴能夠得出直線AB的方程為 + =1。然后將這個(gè)方程代入橢圓方程，得 x1= ，y1= ；x2=0，y2=b?！嗟贸鳇c(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ）。又AC⊥x軸，∴根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ， ）?！嗟贸鲋本€F1C的斜率為 ?！咭阎本€AB的斜率是- ，而且F1C⊥AB，∴kF1 C·kAB=-1。已知公式b2= a2-c2，∴得到a2=5c2，∴e2= ，開根號(hào)得e= 。

本題解析：上述這種解法的思路自然，但是運(yùn)算過程含有字母的二元二次方程組以及方程式的化簡，運(yùn)算比較復(fù)雜，因此在計(jì)算的時(shí)候要仔細(xì)，以免造成誤差。

例2，如圖，已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且 =2 ，求C的離心率。

解：可以假設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，B是短軸的上端點(diǎn)。以直線l為左準(zhǔn)線，作：BB1⊥l于B1， DD1⊥l于D1，DM⊥BB1于M， 假設(shè)∠BFO=θ，∴可以得出BB1= ，DD1= ，由此可以推出BM= = ，∵BM=BD·cos∠MBF=3DF·cosθ=3DF· =3 ，∴能夠得到 =3DE·e，最后解得e= 。

本題解析：本題考查橢圓的焦點(diǎn)弦知識(shí)，這類問題可以根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義來解答。

例3，如圖，已知橢圓 + =1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，弦AB過左焦點(diǎn)，若△ABF2的內(nèi)切圓周長為π，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），且|y1-y2 |= ，求橢圓的離心率。

解：已知△ABF2的內(nèi)切圓周長為2πr=π， ∴可以求得圓的半徑r= ， 把得到的數(shù)值代入公式S△ABF2= 4·a·r=a， 可以得出S△ABF2= |F1 F2 | |y1-y2 |=c|y1-y2 |，∴進(jìn)一步計(jì)算得出a= ，即得e= = 。

本題解析：此題考查的是橢圓知識(shí)與圓的知識(shí)相結(jié)合的問題，在解題的過程中要同時(shí)運(yùn)用橢圓和圓的相關(guān)公式進(jìn)行解答。

例4，如圖，在橢圓 + =1（a>b>0）中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，四邊形OFAB為菱形，求橢圓的離心率e。

解：∵四邊形OFAB為菱形， ∴可以得到條件AB∥FO，AB⊥y軸，假設(shè)菱形邊長為c，連結(jié)AO，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可以得知，OA=OB=c，∴△AOF為正三角形，∴得出點(diǎn)A坐標(biāo)為（ ， c）。把點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程，可以得到 + =4，把公式b2= a2-c2代入，得 + =4。進(jìn)行化簡，可得4a2-8a2c2+c2=0，進(jìn)一步計(jì)算，得e4-8e2+4=0?！鄀2=4-2 =（ -1）2，即得e= -1。

本題解析：這道題結(jié)合菱形的相關(guān)知識(shí)可得到一些題干暗含的條件，從而結(jié)合橢圓的公式進(jìn)行計(jì)算，相對(duì)簡便容易計(jì)算。

例5，如圖，已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的范圍。

解：根據(jù)題意可得兩個(gè)等式， （PF1+PF2）2=4a2， PF12+PF22-2·PF1·PF2·cos60°=4c2。把兩個(gè)等式相減，整理可得，PF1·PF2= b2?！逷F1·PF2=≤（ ）2，∴ b2≤a2，即 （a2-c2）≤a2，最后解得e≥ 。

三、結(jié)語

離心率既是描述橢圓的一個(gè)重要幾何量，又是橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì)的一個(gè)交匯點(diǎn)。橢圓離心率知識(shí)的考查一般與三角函數(shù)、幾何方程、直線與橢圓的位置這些知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系，因此在解題過程中學(xué)生要發(fā)散思維，尋找不同的思路進(jìn)行嘗試。這樣既能加深學(xué)生對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解與掌握，又能培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓離心率的同時(shí)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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