圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖法

廣東省佛山市羅定邦中學(528300) 龍 宇

廣東省佛山市順德區(qū)教師發(fā)展中心(528300) 王常斌

在初中階段,我們了解到尺規(guī)作圖可以做出線段的等分點,線段的垂直平分線,過一點作直線的垂線和平行線,作給定角的角平分線等.本文以尺規(guī)作圖的法則作出圓錐曲線的切線.

1.圓的切線

(1)過圓上一點

如圖1,過圓C上一點P作圓C的切線.

作法：設切線為l,連接CP,根據(jù)切線的性質(zhì),CP⊥l.該問題轉(zhuǎn)化為過點P作CP垂線的問題.本文不再贅述.

圖1

圖2

(2)過圓外一點

如圖2,過圓C外一點P作圓C的切線.

設過點P所作的切線為l1,l2,切點為A,B.連接CA,CB,CP.根據(jù)切線的性質(zhì),△PAC,△PBC為以CP為斜邊的直角三角形.

作法：以CP為直徑作圓O,圓O與圓C的交點即為切點A,B.

2.拋物線的切線

(1)過拋物線上一點

例1已知拋物線C:y2=2px(p＞0),其焦點為準線方程為設P為拋物線C上的動點,過點P作準線l的垂線,垂足為P′,連接PF.證明：過點P的切線為∠FPP′的角平分線.

圖3-1

圖3-2

證明(法一)如圖3-1,設點P的坐標為根據(jù)文[1]可知,過點P的切線l的斜率為直線PF的斜率為.直線PP′的斜率為k2=0.設直線l到直線PF及直線PP′的夾角分別為α,β.根據(jù)到角公式：,,所以α=β.即可知過點P的切線為∠FPP′的角平分線.

(法二)引理1(外角平分線定理的逆定理)如圖3-2所示,在△ABC中,若,則有AD為△ABC對應的外角平分線.

證不妨設AB＞AC(若AB=AC,則對應的點D不存在)在線段AB上找一點E,使得AE=AC,所以∠3=∠4.又因為,所以.又因為∠B=∠B,所以△BCE～△BDA,所以CE//AD,所以∠3=∠2,∠4=∠1,所以∠1=∠2,即AD可得為△ABC對應的外角平分線.

引理2設拋物線C的焦點為M,將拋物線的一條弦AD延長交準線于K,則MK平分MA與MD夾角的外角.

證過點A,D作準線的垂線交準線于 點A′,D′,所以△KDD′～△KAA′,所以根據(jù)拋物線的定義AA′=AM,DD′=DM,所以.根據(jù)引理1,即可得：則MK平分MA與MD夾角的外角.

圖3-3

結(jié)合切線的定義,移動點D的位置與點A重合,直線AK退化為拋物線在點A處的切線.而且當點D與點A重合時,∠AMD=0°,根據(jù)引理2,即有MK平分MA與MD夾角的外角=180°,所以MK⊥AM.由此可得如下定理：

定理1已知拋物線y2=2px(p＞0),焦點為過拋物線上一點P(x0,y0)作拋物線的切線與準線交于點K,則有FK⊥PK.

如圖3-4所示：根據(jù)定理 1,∠PFK=90°,因為PP′⊥準線,所以∠PP′K=90°,即有∠PFK=∠PP′K,再有拋物線的定義,PF=PP′,且有PK作為公共邊,所以△PFK～=△PP′K,所以PK為∠FPP′的角平分線.

作圖：如圖3-4,根據(jù)文[2],可以通過尺規(guī)作圖得到拋物線的焦點及準線.通過尺規(guī)作圖完成∠FPP′的角平分線即為過點P的切線.

圖3-4

圖4

(2)過拋物線外一點

如圖4,過拋物線C外一點P作拋物線C的切線.

作圖：以點P為圓心PF為半徑作圓P,圓P與準線l的交點為A1,B1,過A1,B1分別做準線l的垂線與拋物線C相交,交點為A,B.點A,B即為對應的切點.

3、橢圓的切線

(1)過橢圓上一點

例2已知橢圓,橢圓C的左右焦點為F1,F2.點P為橢圓C上一動點,證明：過點P的切線為∠F1PF2的外角平分線.

圖5-1

證明如圖5-1,設點P的坐標為(x0,y0).根據(jù)文[1],過點P的切線方程為.當直線l與x軸無交點時,結(jié)論顯然成立.當直線l與x軸的有交點時,交點為,不妨設,則有,.根據(jù)焦半徑公式：,則有.根據(jù)引理1,過點P的切線為∠F1PF2的外角平分線.當x0＜0時,類似可以證明.

因為∠F1PF2的外角平分線所在的直線是唯一的,故可按以下方法作出過橢圓上一點橢圓的切線：

作圖：如圖5-2,延長F1P至點D,作∠F2PD的角平分線即為過點P的橢圓的切線.

(2)過橢圓外一點

例3如圖6-1,已知橢圓,橢圓C的左右焦點為F1,F2.點P為橢圓C上一點,過點P作切線l,過點F1作切線l的垂線,垂足為D.證明：點D屬于圓O:x2+y2=a2.

證明延長F2P與F1D交于點F′1,根據(jù)上面的結(jié)論,直線l為∠F1PF2的外角平分線.且F1D⊥l,所以△F1PF′1為等腰三角形.即有PF′1=PF1,DF′1=DF1.易知點O為F1F2的中點,所以OD為△F1F′1F2的中位線.所以點D屬于圓O:x2+y2=a2.

由例3我們可以受到啟發(fā),過橢圓外一點作橢圓的切線可以如下作圖：

作圖,如圖6-2,連接PF1,以PF1為直徑作圓與輔助圓x2+y2=a2交于點A′,B′,連接PA′,PB′與橢圓相交于點A,B.點A,B即為對應的切點.

以點A為例,說明如下：如圖6-3,以PF1為直徑作圓可得∠PA′F1=90°,即可得∠F1A′A=90°.

圖6-3

延長F1A′至F′1,使得F1A′=F′1A′.連結(jié)F′1F2交橢圓于點A,易知A′O是△F1F2F′1的中位線.連結(jié)F1A,故F2F′1=2a=AF2+AF1,從而AF1=AF′1,由三角形全等判定邊邊邊定理可得△AF1A′～=△AF′1A′,從而有∠F1A′A=∠F′1A′A=90°,故P,A′,A三點共線.同時有∠F1AA′=∠F′1AA′,由例2可知,PA是橢圓的切線.

4、雙曲線的切線

(1)過雙曲線上一點

例4已知雙曲線,橢圓C的左右焦點為F1,F2.點P為雙曲線C上一動點,證明：過點P的切線為∠F1PF2的角平分線.

證明如圖7,設點P的坐標為(x0,y0).根據(jù)文[1],過點P的切線方程為.設直線l與x軸的交點為.不妨設x0＞0,則有：根據(jù)焦半徑公式：PF1=a+ex0,PF2=ex0-a,則有.根據(jù)角平分線定理,過點P的切線為∠F1PF2的角平分線.根據(jù)角平分線的唯一性,可以如下作圖：

作圖：如圖7,連接PF1,PF2,做∠F1PF2的角平分線即為過點P的切線.

圖7

圖8-1

(2)過雙曲線外一點

例5如圖8-1,已知雙曲線,雙曲線C的左右焦點為F1,F2.點P為雙曲線C上一點,過點P作切線l,過點F2作切線l的垂線,垂足為D.證明：點D屬于圓O:x2+y2=a2.

證明延長F2D與F1P交于點D′,根據(jù)例4,直線l為∠F1PF2的角平分線.且F2D⊥l,所以△F2PD′為等腰三角形.即有PF2=PD′,DF2=DD′.易知點O為F1F2的中點,所以OD為△F1D′F2的中位線.,所以點D屬于圓O:x2+y2=a2.

作圖：如圖8-2,連接PF2,以PF2為直徑作圓與輔助圓x2+y2=a2交于點A′,B′,連接PA′,PB′與雙曲線相交于點A,B.點A,B即為對應的切點.

以點A為例,說明如下：如圖8-3,以PF2為直徑作圓可得∠PA′F2=90°,即可得∠F2A′A=90°.

延長F2A′至F′2,使得F2A′=F′2A′.,則直線PA垂直平分線段F2F′2,故有AF2=AF′2,∠F1AA′=∠F2AA′.連結(jié)F′2F1,直線F′2F1與雙曲線的公共點為A,易知A′O是△F2F′2F1的中位線.連結(jié)F2A,故F′2F1=2A′O=2a=AF2-AF1=AF′2-AF1,從而A,F1,F′2三點共線.又因為∠F1AA′=∠F2AA′,由例4可知,PA是雙曲線的切線.