一類二次函數(shù)的最佳一致線性逼近的思想方法及其應(yīng)用

廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519000) 李 凱

在競賽題中,經(jīng)常遇到含參二次函數(shù)在有界閉區(qū)間中的最值問題,有時含的參數(shù)不止一個,直接討論函數(shù)的對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系,面臨著很大的計算量,筆者發(fā)現(xiàn)這類問題的原型即為二次函數(shù)的最佳一致線性逼近,不需要高等數(shù)學(xué)中的理論,通過計算區(qū)間端點處的函數(shù)值和區(qū)間中點處的函數(shù)值得到一個關(guān)系式,再加上絕對值不等式的性質(zhì)即能破解這類問題.

一、結(jié)論的推導(dǎo)

對(?)式的直觀解釋：等式左邊是區(qū)間端點處函數(shù)值的和再減去區(qū)間中點處函數(shù)值的2倍,而二次函數(shù)的最值一般在區(qū)間端點處或?qū)ΨQ軸處取得,所以左式與函數(shù)的最值有關(guān);等式的右邊中a代表拋物線的開口大小,而|n-m|為區(qū)間的長度,右式與拋物線開口以及區(qū)間長度有關(guān).

對(?)式兩邊同時取絕對值可得：

設(shè)|f(x)|=|ax2+bx+c|在區(qū)間[m,n]內(nèi)的最大值為|f|max,

則

即

而|f|max=max{|fmax|,|fmin|}(其中fmax,fmin分別為f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值,最小值),當a為定值時,(??)式揭示了區(qū)間長度與函數(shù)最值的一個不等關(guān)系,即函數(shù)在有界閉區(qū)間上的最值與區(qū)間長度可相互進行估計.

二、在競賽題中的應(yīng)用

例1(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A卷)第9題)設(shè)k,m為實數(shù),不等式|x2-kx-m|≤1對所有x∈[a,b]成立.證明：

證明設(shè)f(x)=x2-kx-m,設(shè)當x∈[a,b]時|f(x)|的最大值為|f|max,由題意知|f|max≤ 1,根據(jù)(??)式可得|b-a|2≤ 8|f|max,故|b-a|2≤ 8,得

例2(競賽題改編)設(shè)g(x)=|x2-ax-b|(a,b∈R)在[1,2]上的最大值為M(a,b),求M(a,b)的最小值以及當M(a,b)取最小值時對應(yīng)的a,b值.

對等號成立條件的簡單說明：即區(qū)間的中點值恰為二次函數(shù)對稱軸與x軸交點的橫坐標,且函數(shù)在區(qū)間端點處和對稱軸處交替取得最大最小值,且最大最小值互為相反數(shù).

例3(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A卷)第9題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0),當0≤x≤1時,|f′(x)|≤ 1,試求a的最大值.

解設(shè)g(x)=f′(x)=3ax2+2bx+c,當x∈[0,1]時,記|g(x)|的最大值為|g|max.由已知當0≤x≤ 1時,|g(x)|≤ 1恒成立,故|g|max≤ 1,根據(jù) (??)式可得：|3a||1-0|2≤8|g|max≤8,故,即.完全仿照(??)式“等號”成立的條件,取滿足題意,此時g(x)=8x2-8x+1=3ax2+2bx+c.故,即形如能滿足題意,再結(jié)合,知a的最大值為.

三、總結(jié)與鞏固練習(xí)

1.(2015年北京大學(xué)自主招生第3題)若|x2+px+q|≤2對任意的x∈[1,5]都成立,則不超過的最大整數(shù)是___.

提示與解答：1.令f(x)=x2+px+q(x∈[1,5]),根據(jù) (??)式|5-1|2≤ 8|f|max,即|f|max≥ 2.由已知條件|f|max≤2,故必有|f|max=2,而由等號成立的條件可計算出p=-6,q=7,這樣不超過的最大整數(shù)是9.