差之毫厘 謬以千里*

廣東省珠海市第一中學(519000) 王生雙

在文[1]中提到兩道姐妹題：

1)設a＞1,若對于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=3,這時a的取值集合為()

2)設a＞1,若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=c,這時,a的取值的集合為___.

這兩題“貌似”一樣,唯一的區(qū)別就是1)題中方程中的3換成了c,并且c是唯一的,那么我們來看一下這兩個題目的解題過程的差別：

1)方程logax+logay=3可化為此函數(shù)在[a,2a]上單調遞減,所以,由解得a≥2,故選B.

2)同樣我們將方程logax+logay=c進行轉化可得,由于c是唯一的,所以我們的y的范圍是準確的,即y∈[a,a2]就是值域了.由于此函數(shù)在[a,2a]上單調遞減,所以并且有a2?a=2,故答案為{2}.

由這兩道題的分析,我們可以看出,有些題目從表面上看起來似乎一樣,可是仔細分析卻得到不一樣的答案.在平時的練習和考試中也有很多這樣“看似差不多”的題目,但往往結果相差很大,甚至做題思路完全不一樣,筆者就此問題給出一些實例：

1、集合的代表元不同

1)設集合A={y|y=x2-3x+2,x∈R},B={y|y=-2x2-x+1,x∈R},求A∩B.

2)設集合A={(x,y)|y=x2-3x+2,x∈R},B={(x,y)|y=-2x2-x+1,x∈R},求A∩B.

在這兩道題中,由于代表元不同,思路也不一樣.首先看1)中,代表元為y,所以故.而2)中,代表元為點的坐標,由于兩條拋物線無交點,故A∩B=?.

2、定義域和值域的不同

1)已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+ax+1)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是___.

2)已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是____.

1)定義域是使函數(shù)有意義,故ax2+ax+1＞0恒成立,即因此0＜a＜4.

2)要求值域是R,故u=ax2+ax+1中的u要取完所有的正數(shù),故{u|u＞0}是u=ax2+ax+1的值域的子集,當a≤0時顯然不符合題意,故得,a≥4.

3、恒成立與存在的不同

1)已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1,若在區(qū)間[-1,1]上存在c使得f(c)＞0,則p的取值范圍是___.

2)已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1,若對于任意的c∈[-1,1]都有f(c)＞0,則p的取值范圍是___.

第1)小題討論的是一個存在的問題,存在c使得f(c)＞0,只需讓f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值f(x)max＞0即可;對于第2)小題,要使對于任意的c∈[-1,1]都有f(c)＞0,就必須讓其最小值f(x)min＞0.具體結果如下：

1)由于二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1的圖像是一個開口向上的拋物線,故最大值一定在x=1或x=-1處取得,故f(1)=4-2(p-1)-2p2-p-1＞0或f(-1)=4+2(p-1)-2p2-p-1＞0,解之得,.

2)二次函數(shù)f(x)= 4x2-2(p-1)x-2p2-p-1的圖像是一個開口向上的拋物線,考慮對稱軸,故有或解之得,p的取值范圍為?.

4、主元的不同

1)設關于x的不等式a2-ax+x+1＞0的解集為A,若[0,1]?A,求實數(shù)a的取值范圍.

2)設關于a的不等式a2-ax+x+1＞0的解集為A,若[0,1]?A,求實數(shù)x的取值范圍.

在第1)小題中,題意等價于：已知x∈[0,1]時,不等式(1-a)x+a2+1＞0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.令f(x)=(1-a)x+a2+1,其圖像是一條直線,要使x∈[0,1]時f(x)＞0恒成立,只需所以實數(shù)a的取值范圍是R.

在第2)小題中,題設可轉化為不等式a2+1＞x(a-1)在a∈[0,1]時恒成立.當a=1時不等式肯定成立;當a∈[0,1)時,應有恒成立.令a∈[0,1),只需x＞g(a)max,易知2在a∈[0,1)內遞減,因而a=0時,g(a)max=g(0)=-1,從而實數(shù)x的取值范圍為(-1,+∞).

5、幾何概型的貌合神離

1)在等腰直角三角形ABC中,在斜邊AB上任取一點M,求AM小于AC的概率.2)在等腰直角三角形ABC中,過直角頂點C作一條射線CM,與線段AB交于M點,求AM小于AC的概率.

圖1

這是兩道幾何概型的題目,由于“著眼點”不同使它們有不同的結果.第1)小題中,M點在AB上取,所以只需以點A為圓心,AC為半徑作一個圓弧與AB交于點C′,不妨設AC=a,則,從而所求的概率為.

第2)題,以點A為圓心,AC為半徑作一個圓弧與AB交于點C′,連接CC′,則,從而所求的概率為.

這兩個小題有所不同是因為第1)題應看作M在AB上時等可能分布的,而第2)題應看作射線CM在∠ACB內是等可能分布的.

6、有序與無序的不同

1)六本不同的書,分為三組,每組兩本,有多少種分法?

2)六本不同的書,分給三個人,每人兩本,有多少種分法?

第1)個問題,就是一個平均分組的問題;但是由于第二個問題中分給三個人,這時的組合問題就變成了排列問題,這就是它們的區(qū)別所在.對于第1)小題,由于不需要順序,所以分組數(shù)是C26C24C22=90(種),這90種分組實際上重復了6次.我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個號碼,考察以下兩種分法：(1,2)(3,4)(5,6)與(3,4)(1,2)(5,6),由于書是均勻分組的,三組的本數(shù)一樣,又與順序無關,所以這兩種分法是同一種分法.以上的分組方法實際上加入了組的順序,因此還應取消分組的順序,即除以組數(shù)的全排列數(shù),所以分法是.第2)小題中,有了人就有了順序,故需要在1)的基礎上進行排列,即：種.

7、過與在的不同

1)中在點P處的切線,P一定是切點.我們可以求出點P處的導數(shù)作為斜率即可.而2)中要求過點P,切點也可能不是點P.具體解答如下：

1)f′(2)=4,故切線方程為y=4x-4.

2)設切點為(x0,y0),則切線方程為,該直線經(jīng)過點P(2,4),所以x20(2-x0)即x0=-1或x0=2,所以切線方程為y=4x-4或y=x+2.

許多題目看起來相似,實質卻不同,正所謂“差之毫厘,謬以千里”,這就要求我們在做題的過程中認真審題,仔細分析,將類似題目一一擊破,把這些題目放到一起進行辨析,更是會起到事半功倍的效果.