沒有想象空間的操作活動是不完美的
——“認(rèn)識公因數(shù)和最大公因數(shù)”的同課異構(gòu)

江蘇泰州市智堡實驗學(xué)校（225300）

在一次市級數(shù)學(xué)教研活動中，兩位教師對同一課題“認(rèn)識公因數(shù)和最大公因數(shù)”進行了同課異構(gòu)教學(xué)。在介紹“公因數(shù)”概念時，兩位教師都別具匠心，精心組織了操作活動——用“小正方形密鋪長方形”，從而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“正方形邊長必須同時是長方形的長和寬的因數(shù)才能完美密鋪”，進而正式給公因數(shù)下定義，但是不同的活動安排帶來了不同的教學(xué)效果。

【A教師教學(xué)片段】

師：音樂室地板是一個長30dm、寬20dm的矩形，由于地磚老化，現(xiàn)在要進行重裝，有邊長4dm和5dm兩種規(guī)格的正方形瓷磚備選，請問哪種正方形瓷磚合適？

生（齊）：選用邊長5dm的，因為5同時可以整除20和30。

師：請動手畫一畫，模擬鋪一鋪。

（學(xué)生動手操作，在用邊長4dm的方磚密鋪時感到為難；教師組織學(xué)生交流，討論沿長排列幾塊，沿寬排列幾塊）

展示學(xué)生作品：

師:為什么邊長5dm的方磚能正好密鋪，而邊長4dm的方磚則不行？

生1：主要是30dm那條邊不能被完美分割。換言之，4不能整除30，而5既可以整除20又可以整除30。

師：除了邊長5dm的方磚，還有哪種規(guī)格的方磚也可以密鋪？畫一畫，填一填。

一共鋪設(shè)幾塊600 150 6方磚規(guī)格1dm 2dm 10dm沿長鋪幾塊30 15 3沿寬鋪幾塊20 10 2

師：為何邊長1dm、2dm、10dm的方磚也可以做到密鋪？

生2：1、2、10和5一樣，既是20的因數(shù)又是30的因數(shù)，是20和30的公因數(shù)。

（教師由此揭示“公因數(shù)”的概念）

【B教師教學(xué)片段】

師：分別用邊長9cm和4cm的正方形紙片密鋪一個長18cm、寬12cm的長方形，觀察實驗結(jié)果。

展示學(xué)生作品：

師：為什么不可以密鋪？

生1：邊的長度要是9或者4的倍數(shù)才可以。

師：請用數(shù)據(jù)說話。

生2：9是18的因數(shù)，但不是12的因數(shù)；4是12的因數(shù)而非18的因數(shù)。

師：密鋪對邊長有著嚴(yán)格的要求。

師：什么樣的條件才能做到密鋪？

生3：小正方形的邊長要同時是18和12的因數(shù)，可以是1cm、2cm、3cm、6cm。

師：先拿邊長6cm的正方形紙片做實驗。

出示圖：

生4：6是12和18的公約數(shù)。

（教師用其他數(shù)據(jù)分別做實驗，訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范地表達“幾是12和18的公約數(shù)，所以可以完美密鋪”的句式）

兩位教師的教學(xué)都經(jīng)歷了“操作—驗證—思考—交流”的程序，也體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想——借助長和寬同時完美分割密鋪來導(dǎo)入“公因數(shù)”的概念。現(xiàn)對兩位教師的處理方法進行逐一分析。

一、操作簡約化，概念更深刻

A教師組織的密鋪活動“用邊長4dm和邊長5dm的方磚密鋪長30dm、寬20dm的音樂室地板”，共計需要用到方磚35或24塊，長度差距太大，操作耗時過長。同時，操作要求是“全覆蓋”，更加浪費時間。后續(xù)提問“沿長排列幾塊，沿寬排列幾塊？”也或多或少地對公因數(shù)概念的提出產(chǎn)生阻撓作用。學(xué)生初步形成“公因數(shù)”的概念雛形后的第二次操作活動“還有哪些規(guī)格的方磚可以密鋪？畫一畫，填一填?！敝校捎谶呴L1dm和邊長2dm的方磚全覆蓋時數(shù)量太多，學(xué)生糾結(jié)于塊數(shù)，而淡化了邊長，削弱了“公因數(shù)”概念的準(zhǔn)確性。

B教師組織的活動是“分別用邊長9cm和4cm的正方形紙片密鋪長18cm、寬12cm的矩形”，邊長9cm的方片只需2塊，邊長4cm的方片只需12塊。數(shù)量少，效率高。在鋪的過程中，學(xué)生能直觀地感知到“9”可以鋪滿“長度18”而不能鋪滿“寬度12”；“4”不能鋪滿“長度18”，卻可以鋪滿“寬度12”。前后反差，集中反映出“正好鋪滿”長方形的關(guān)鍵在于“正方形的邊長是否都是長與寬的因數(shù)”。顯然，靈活應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，就能用直觀的幾何揭示抽象的數(shù)字性質(zhì)。隨后教師在學(xué)生獨立思考問題“什么規(guī)格的正方形才能正好鋪滿這個長方形？”時，組織學(xué)生嘗試用邊長6cm的正方形驗證，學(xué)生通過操作證實了自己的設(shè)想。

二、想象和表達齊頭并進

A教師的教學(xué)是通過能否鋪滿來舉證是否是公約數(shù)，但是在用“邊長1dm”和“邊長2dm”的小方塊密鋪時，學(xué)生的主要精力和思維焦點集中在算塊數(shù)上，而一個需要300塊，一個需要150塊，這樣的“操作”嚴(yán)重阻礙學(xué)生思維，很是贅余。此處可以稍加改進，讓學(xué)生選擇想象或計算的方式，探究哪些方塊可以密鋪，這樣就簡單易行，更具含金量。

在B教師的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷兩次操作后，已經(jīng)基本理解“公因數(shù)”概念。教師可以適時布置想象推演活動：“邊長3cm的正方形能否密鋪？請想象圖景。”“邊長2cm或1cm的正方形能否密鋪？請你邊想象邊描述?！睂W(xué)生憑借操作經(jīng)驗可以做到合理想象、清晰思考和準(zhǔn)確描述。交流時，教師再“由扶到放”，不斷誘導(dǎo)牽引，就能使學(xué)生的認(rèn)識從懵懂感覺到清晰表達，實現(xiàn)思維和語言表達能力的雙向提升。

綜上，A教師把“操作發(fā)現(xiàn)”看作“揭示規(guī)律”的唯一路徑，沒有發(fā)掘?qū)W生的主觀能動性，在學(xué)生表達不規(guī)范的地方并沒有因勢利導(dǎo)，而是生硬轉(zhuǎn)折。B教師則把準(zhǔn)了學(xué)習(xí)起點，操作時，將長和寬分別密鋪，凸顯了“正好鋪滿”的充分條件，而“公因數(shù)”概念的導(dǎo)入也正好建立在長和寬同時能夠密鋪的前提下，可以說是相當(dāng)完美的操作活動。