面齒輪傳動全齒面閃溫分布與抗膠合修形優(yōu)化

付學(xué)中,方宗德,崔艷梅,彭先龍,李建華

(1.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院,710072,西安;2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院機(jī)電學(xué)院,450015,鄭州;3.西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710054,西安)

面齒輪傳動是圓柱齒輪與錐齒輪相嚙合的先進(jìn)新型傳動,可用于兩輪軸線相交或交錯的工況,應(yīng)用前景廣闊,是齒輪傳動中的研究熱點[1]。目前,面齒輪傳動主要應(yīng)用于航空領(lǐng)域的重型武裝直升機(jī)(如阿帕奇AH-64)中的主減分扭系統(tǒng)[2]和汽車領(lǐng)域的高性能汽車(如奧迪RS5)中的中心差速器[3]等高速重載場合。由于齒面相對滑動速度高、齒面間擠壓力大,若潤滑不良,齒面摩擦?xí)a(chǎn)生瞬間高溫,此時面齒輪易出現(xiàn)膠合失效的現(xiàn)象。尤其是對于直升機(jī)而言,為減小因溫度急劇上升而造成的傳動系統(tǒng)迅速失效甚至機(jī)毀人亡的嚴(yán)重事故,國內(nèi)外對直升機(jī)傳動系統(tǒng)提出了應(yīng)具有至少30 min的干運轉(zhuǎn)能力要求[4]。因此,研究面齒輪傳動膠合承載能力對于保證面齒輪傳動的使用壽命、傳動質(zhì)量和可靠性具有重要意義。工程中常用的計算和校核膠合強(qiáng)度的方法有2種:基于Blok提出的閃溫法[5]和基于Winter提出的積分溫度法[6]。前者以嚙合過程中瞬時最高溫度作為判斷準(zhǔn)則,后者以整個齒面瞬時閃溫的積分平均值作為判斷準(zhǔn)則。

國內(nèi)外現(xiàn)有的關(guān)于面齒輪傳動膠合強(qiáng)度研究的公開文獻(xiàn)較少。朱如鵬等基于傳熱學(xué)和Blok理論,建立了面齒輪傳動齒面溫升計算模型,推導(dǎo)了面齒輪齒面最大瞬時溫升公式,并分析了齒數(shù)、壓力角、轉(zhuǎn)速、模數(shù)等參數(shù)對溫升的影響,但齒面溫升僅限于沿嚙合線的接觸點,并未得到沿接觸線的齒面溫升,無法綜合分析整個嚙合過程中全齒面的閃溫分布[7-8]。何國旗等建立了面齒輪傳動齒面溫升的ANSYS有限元分析模型,研究了齒輪中不同嚙合位置面齒面溫度的分布規(guī)律,分析了本體溫度與負(fù)載、模數(shù)、轉(zhuǎn)速、壓力角、齒面粗糙度和環(huán)境溫度的關(guān)系,但因是采用商業(yè)有限元軟件ANSYS求解,存在計算時間長、效率低等問題,更難以將其與優(yōu)化程序結(jié)合進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計[9-10]。此外,上述文獻(xiàn)的研究對象均是理想面齒輪傳動,并未考慮實際的齒面修形。

本文基于Blok閃溫公式、面齒輪傳動齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)和承載接觸分析(loaded tooth contact analysis,LTCA)技術(shù),建立了面齒輪傳動全齒面閃溫快速求解模型,分析了面齒輪傳動全齒面閃溫分布,并與帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm II,NSGA-II)相結(jié)合,建立了以修形參數(shù)為優(yōu)化變量,以齒面閃溫最小為優(yōu)化目標(biāo)的面齒輪傳動抗膠合修形優(yōu)化模型,為面齒輪傳動抗膠合設(shè)計提供了參考。

1 面齒輪傳動全齒面閃溫求解模型

根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)[11]中的Blok閃溫公式,對于齒面嚙合點切向速度平行且具有帶狀赫茲接觸區(qū)的面齒輪傳動,其齒面閃溫計算公式為

(1)

式中:θfl為接觸點(嚙合點)處的溫升;μm為接觸點處的平均摩擦系數(shù);W為接觸點的載荷密度;vt1、vt2分別為小輪和大輪在接觸點處的切向速度值;B1、B2分別為小輪和大輪的熱接觸系數(shù);b為赫茲接觸帶半寬。

圖1 接觸橢圓長軸離散點

(2)

2 全齒面閃溫相關(guān)參數(shù)的確定

2.1 接觸橢圓長軸離散點處的切向速度

有關(guān)面齒輪傳動的齒面展成、TCA和LTCA模型,文獻(xiàn)[12]已給出了詳細(xì)論述。兩齒面瞬時接觸點Mi的位矢rM和單位公法矢nM、接觸橢圓長軸方向矢量nL均可由TCA獲得。設(shè)u1、l1是展成小輪理論齒廓的2個獨立參數(shù),u2、l2是展成面齒輪齒廓的2個獨立參數(shù),則接觸橢圓長軸離散點Mij的位矢為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

對應(yīng)的切向速度表示為

(10)

(11)

兩者的相對滑動速度表示為

(12)

2.2 接觸橢圓長軸離散點處的綜合曲率半徑

(13)

(14)

接觸橢圓長軸離散點處綜合曲率半徑為

(15)

2.3 接觸橢圓長軸離散點處的載荷密度

假設(shè)第i條接觸橢圓長軸上的第j個離散點處的載荷為pij,其值可由LTCA得到。接觸長軸離散點的載荷密度Wij可按下式計算

(16)

式中:Li,j為第i條接觸橢圓長軸上的第j個離散點的位置坐標(biāo);n為第i條接觸橢圓長軸的離散點數(shù)。

2.4 接觸橢圓長軸離散點處的赫茲接觸帶半寬

根據(jù)赫茲接觸理論[13],赫茲接觸帶半寬bi可按下式計算

(17)

式中:βi為系數(shù),由參數(shù)θi=cos-1(Bi/Ai)在相關(guān)表格中根據(jù)離散數(shù)據(jù)插值確定,其中Ai、Bi為面齒輪傳動接觸點附近的幾何參數(shù),由TCA獲得;Pi為齒面第i條接觸橢圓長軸上的集中載荷,由LTCA獲得;μ1、E1為小輪的材料泊松比、彈性模量;μ2、E2為大輪的材料泊松比、彈性模量。

3 面齒輪傳動抗膠合修形優(yōu)化

3.1 優(yōu)化模型

齒面膠合損傷是高速重載齒輪的主要失效形式之一,研究證實齒面修形對齒輪的膠合強(qiáng)度有顯著的改進(jìn)[14-15],因此修形參數(shù)選的是否合理,直接決定著面齒輪傳動的抗膠合能力能否有效提高。因小輪齒數(shù)少、齒面簡單、修形方便、修形效率高,故更適合修形。文獻(xiàn)[16]將小輪齒廓和齒向修形曲線均設(shè)計成由1段直線與2段拋物線組合而成,共含7個修形參數(shù),見圖2,l1、l3分別為齒廓修根、修緣時的修形量,l2、l4為分別對應(yīng)的修形長度,l0為齒向不修形長度,l5、l7分別為齒向兩端修形量,h1、b1分別為小輪在旋轉(zhuǎn)投影面上的齒高、齒寬。但是,齒向修形曲線的直線段是沿齒寬對稱的,故具有一定的局限性。本文改進(jìn)了齒向修形曲線,見圖3,與圖2b相比,齒向不修形長度由2個修形長度參數(shù)l6、l8控制。

(a)齒廓 (b)齒向圖2 小輪修形曲線

圖3 改進(jìn)后的齒向修形曲線

以齒面閃溫最小為優(yōu)化目標(biāo),小輪修形曲線的8個參數(shù)為優(yōu)化變量,面齒輪傳動抗膠合修形優(yōu)化模型可簡化為:

優(yōu)化變量lk(k=1,2,…,8)

3.2 優(yōu)化算法

本文優(yōu)化時需不斷改變小輪修形參數(shù)來進(jìn)行齒面接觸迭代,而求解齒面接觸是高度非線性問題,且優(yōu)化目標(biāo)與優(yōu)化變量無直接關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)無法表述成優(yōu)化變量的精確解析式,此外,還存在多個局部最優(yōu)解。為提高計算效率,克服傳統(tǒng)優(yōu)化算法對于高度非線性優(yōu)化問題難以或者無法求解的難題[17],本文采用NSGA-II算法求解上述優(yōu)化模型,流程見圖4。

圖4 面齒輪傳動抗膠合修形優(yōu)化流程

4 算例與討論

某面齒輪傳動算例的齒輪幾何參數(shù)如下:小輪齒數(shù)為20,面齒輪齒數(shù)為70,面齒輪內(nèi)外徑分別為131和151 mm,面齒輪產(chǎn)形輪齒數(shù)為23,壓力角為25°,模數(shù)為4 mm,軸夾角γ為90°,碟形砂輪半徑取為200 mm。大小輪的彈性模量和泊松比均為206 GPa和0.3,小輪轉(zhuǎn)速為6 000 r/min,輸入功率為270 kW,大小輪的表面粗糙度和熱接觸系數(shù)均為0.8 μm和13.8 N/(mm·s0.5· ℃),潤滑油的動力黏度為5 mPa·s,本體溫度為100 ℃。用計算機(jī)程序求解上述面齒輪傳動全齒面閃溫分布,耗時8 min。

圖5 承載接觸印痕

圖6 沿接觸路徑的切向速度

圖7 全齒面相對滑動速度分布

面齒輪傳動的承載接觸印痕見圖5,h2、b2分別為大輪在旋轉(zhuǎn)投影面上的齒高、齒寬。由圖可知,節(jié)線和接觸橢圓長軸近似平行,兩者之間的夾角很小,且第6條(i=6)接觸橢圓長軸與節(jié)線近似重合。圖6和圖7所示分別為小輪和大輪的沿接觸路徑的切向速度和全齒面相對滑動速度分布,由圖可知:小輪的切向速度隨接觸路徑位置近似呈線性減小,即小輪從嚙入到嚙出時沿接觸路徑的切向速度越來越小,而面齒輪沿接觸路徑的切向速度變化幅度較小,近似保持不變;第6條接觸橢圓長軸上的相對滑動速度近似為0,而離節(jié)線越遠(yuǎn),相對滑動速度就越大,且嚙出相對滑動速度比嚙入相對滑動速度大,嚙出最大相對滑動速度達(dá)5.4 m/s。

圖8 全齒面載荷分布

圖9 全齒面平均摩擦系數(shù)分布

圖10 赫茲接觸帶半寬

圖11 全齒面閃溫分布

面齒輪傳動的全齒面載荷分布、全齒面摩擦系數(shù)分布、赫茲接觸帶半寬以及全齒面閃溫分布依次見圖8～11,由圖可知:單齒嚙合區(qū)的第5、6、7、8條(i=5,6,7,8)接觸橢圓長軸上的載荷密度較大,但因第1、12條(i=1,12)接觸橢圓長軸上的載荷分別在齒根處和齒頂處發(fā)生了突變,導(dǎo)致最大載荷密度位于第1條接觸橢圓長軸上,達(dá)657.5 N/m;各接觸橢圓長軸上的平均摩擦系數(shù)分布較均勻,最大平均摩擦系數(shù)位于第12條接觸橢圓長軸上,達(dá)0.09;單齒嚙合區(qū)的第5、6、7、8條(i=5、6、7、8)接觸橢圓的短軸半寬較大,最大達(dá)0.6 mm;全齒面閃溫分布主要表現(xiàn)為受相對滑動速度分布和載荷分布綜合影響,離節(jié)線越遠(yuǎn),閃溫越大,節(jié)線附近閃溫近似為0 ℃,第1、12條接觸橢圓長軸上的閃溫也分別在齒根處和齒頂處發(fā)生了突變,最大閃溫位于第12條接觸橢圓長軸上,達(dá)112.6 ℃,所以膠合失效最易發(fā)生在此處。

根據(jù)前文面齒輪傳動幾何參數(shù)和工況參數(shù),確定優(yōu)化變量取值范圍如下:2≤l1/μm≤15,1≤l2/mm≤4,2≤l3/μm≤15,1≤l4/mm≤4,5≤l5/μm≤20,1≤l6/mm≤10,5≤l7/μm≤20,1≤l8/mm≤10。為提高計算效率,NSGA-II算法主要參數(shù)[18]取值如下:終止進(jìn)化代數(shù)gmax=50;種群規(guī)模為20;交叉、變異概率分別為0.9、0.1。整個優(yōu)化過程耗時約23 h。

圖12 優(yōu)化修形后的全齒面載荷分布

圖13 優(yōu)化修形后的全齒面閃溫分布

圖12和圖13所示為抗膠合修形優(yōu)化后的面齒輪傳動全齒面載荷分布和閃溫分布,優(yōu)化獲得的變量取值如下:l1=13.41 μm,l2=3.72 mm,l3=3.78 μm,l4=3.74 mm,l5=17.65 μm,l6=1.88 mm,l7=10.57 μm,l8=5.92 mm。由圖可見:優(yōu)化小輪的修形參數(shù)后,發(fā)生在齒根和齒頂處接觸橢圓長軸上的載荷突變現(xiàn)象得到了明顯改善,此時最大載荷密度位于第6條接觸橢圓長軸上,達(dá)404.45 N/m;齒面最大閃溫位于第13條接觸橢圓長軸上,幅值由112.6 ℃降低到78.9 ℃,減小了29.9%。優(yōu)化小輪的修形參數(shù)可有效減小齒面閃溫,從而提高面齒輪傳動的抗膠合能力。

5 結(jié) 論

基于Blok閃溫公式、面齒輪傳動TCA和LTCA技術(shù),通過計算面齒輪傳動接觸橢圓長軸離散點處的切向速度、綜合曲率半徑、載荷密度以及赫茲接觸帶半寬,建立了面齒輪傳動全齒面閃溫快速求解模型,并改進(jìn)了現(xiàn)有的小輪修形曲線設(shè)計,建立了以小輪修形曲線的8個參數(shù)為優(yōu)化變量、以全齒面閃溫最小為優(yōu)化目標(biāo)的面齒輪傳動抗膠合修形優(yōu)化模型,采用NSGA-II算法優(yōu)化了小輪修形曲線參數(shù),得到的主要結(jié)論如下。

(1)面齒輪傳動節(jié)線和接觸橢圓長軸兩者之間的夾角很小,近似平行,節(jié)線附近的相對滑動速度近似為0,而離節(jié)線越遠(yuǎn),相對滑動速度越大,且嚙出相對滑動速度比嚙入相對滑動速度大。

(2)全齒面閃溫分布主要表現(xiàn)為受相對滑動速度分布和載荷分布綜合影響,離節(jié)線越遠(yuǎn),閃溫越大,節(jié)線附近閃溫近似為0 ℃,嚙入、嚙出的接觸橢圓長軸上的閃溫有突變,膠合失效最易發(fā)生在嚙出的接觸橢圓長軸上。

(3)優(yōu)化小輪修形參數(shù)使全齒面閃溫最大值下降了29.9%,從而提高了面齒輪傳動的抗膠合能力。