傅玨,蔣偉,柳一鳴,琚亞平,張楚華

(西安交通大學(xué)能源與動力工程學(xué)院,710049,西安)

受加工誤差、服役環(huán)境等影響,離心葉輪葉頂間隙的幾何尺寸呈現(xiàn)出一定的隨機可變性,致使葉輪葉片上的載荷分布、邊界層流態(tài)、分離流等與理想狀態(tài)存在差異,導(dǎo)致葉輪實際運行性能偏離理想期望值,甚至急劇下降,對整機高效穩(wěn)定和安全可靠運行構(gòu)成嚴重威脅[1]。因此,精確量化葉頂間隙幾何不確定性對離心葉輪氣動性能和內(nèi)部流場的影響具有重要的現(xiàn)實意義。

在葉頂間隙對離心葉輪氣動性能的影響方面,芬蘭拉普蘭塔理工大學(xué)的Saaresti等對離心壓縮機的葉頂間隙展開了數(shù)值模擬,結(jié)果表明,葉頂間隙對離心葉輪氣動性能的影響呈線性關(guān)系[2]。趙會晶等以Krain葉輪為研究對象,研究了離心葉輪葉頂間隙泄漏渦的結(jié)構(gòu)[3]。張楚華等通過研究葉頂間隙對離心葉輪氣動性能的影響,發(fā)現(xiàn)隨著葉頂間隙增大,離心葉輪氣動效率、壓比及轉(zhuǎn)矩均降低,但變化曲線與線性函數(shù)相距甚遠,呈現(xiàn)出典型的雙平臺變化關(guān)系[4]。劉正先等分析了典型葉輪相對葉頂間隙值在0～10%之間的葉輪氣動性能、葉片載荷分布、間隙泄漏量的變化規(guī)律[5]。由以上研究可知,葉頂間隙對離心葉輪氣動性能及內(nèi)部流場的影響不容忽視,但這些工作主要集中于確定性流動分析,鮮有涉及離心葉輪葉頂間隙幾何不確定性及其對葉輪氣動性能的影響。

在離心葉輪氣動性能不確定性分析方面,Javed等針對渦輪增壓器用離心葉輪,采用蒙特卡洛(MC)取樣方法[6],研究了葉片進出口葉頂間隙等一維設(shè)計參數(shù)幾何不確定性對葉輪效率和壓比的影響。Panizza等針對不同形式閉式離心葉輪,先后采用蒙特卡洛法、多項式混沌(PC)法研究了葉輪一維設(shè)計參數(shù)幾何不確定性對葉輪乃至整級效率和做功能力的影響[7-9]。有必要對離心葉輪氣動性能進行不確定性分析,研究對了解離心葉輪氣動性能受幾何不確定性因素影響下的統(tǒng)計變化規(guī)律具有指導(dǎo)意義,但缺乏對葉輪內(nèi)部不確定性流動現(xiàn)象的研究,不利于深入認識幾何不確定性因素對葉輪氣動性能的影響機制。

因此,本文結(jié)合流體機械不確定性流動分析的學(xué)術(shù)前沿,針對考慮葉頂間隙幾何不確定性的離心葉輪氣動性能和內(nèi)部流動展開了研究,從葉輪效率和壓比性能曲線、葉輪出口流場、相對馬赫數(shù)分布等方面進行探討,為深入認識實際運行離心葉輪內(nèi)部流場特征、提高葉輪性能對葉頂間隙幾何不確定性的抗干擾能力、保證離心葉輪高效安全穩(wěn)定運行提供了一定的理論參考。

1 非嵌入式多項式混沌法

1.1 方法概述

多項式混沌法作為一種不確定性量化方法,相較于基于蒙特卡洛取樣的不確定性量化方法,能夠在確保高精度的同時大幅度降低不確定性分析的計算成本[10]。按照與確定性求解器的耦合方式,PC法可分為嵌入式多項式混沌(IPC)法和非嵌入式多項式混沌(NIPC)法。其中,IPC法需要對求解器程序代碼進行大量修改,存在一定風(fēng)險和困難;NIPC法與之相反,僅將求解器視為一個“黑匣子”,在不確定性分析研究中的應(yīng)用更為廣泛。本文采用NIPC方法進行離心葉輪氣動性能的不確定性分析,其基本原理概述如下。

假設(shè)U(θ)是概率空間(Θ,∑,P)上關(guān)于隨機事件θ的隨機過程,則U(θ)可表示成多項式混沌展式

(1)

式中:n為隨機空間維數(shù);p為多項式混沌展開式階數(shù);ψn(ξi1,ξi2,…,ξin)為關(guān)于隨機變量ξ=(ξi1,ξi2,…,ξin)的正交多項式,其與概率密度函數(shù)ρ(ξ)相關(guān)。式(1)的簡化形式為

(2)

利用NIPC方法求解不確定性分析問題的核心在于對多項式系數(shù)uk的求解。根據(jù)正交多項式的性質(zhì),可得

(3)

根據(jù)數(shù)值積分公式,有

(4)

式中:ξi、ωi分別為正交多項式ψk的零點以及相應(yīng)的權(quán)重;m為積分點個數(shù)。

最后,計算U的均值和方差,即

E(U)=〈U(ξ)〉=〈ψ0U(ξ)〉=

(5)

(6)

1.2 方法驗證

為驗證NIPC方法在不確定性分析方面的有效性,分別以二維Sum Squares函數(shù)與三維Rosenbrock函數(shù)為例,將不同概率空間下預(yù)測所得輸出響應(yīng)的統(tǒng)計特征與基于MC方法所得統(tǒng)計結(jié)果(MC采樣數(shù)為105)進行對比。二維Sum Squares函數(shù)與三維Rosenbrock函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為

(7)

(8)

假定ξ分別服從指數(shù)分布、高斯分布和均勻分布,對應(yīng)的變化區(qū)間分別為[0,+∞)、(-∞,+∞)和[-1,+1]。采用NIPC方法生成關(guān)于ξ的4階5點多項式混沌展式。在指數(shù)分布、高斯分布和均勻分布情況下,構(gòu)造多項式混沌展式所需的正交多項式分別為Laguerre多項式、Hermite多項式和Legendre多項式。表1、表2分別給出了上述測試函數(shù)預(yù)測所得輸出響應(yīng)的均值和標準差數(shù)值與基于MC方法所得統(tǒng)計結(jié)果的比較,相應(yīng)的概率密度分布如圖1、圖2所示。由對比結(jié)果可知,預(yù)測結(jié)果與MC采樣分析的統(tǒng)計結(jié)果相當吻合,說明NIPC方法在不確定性分析方面具有較高的精度。

表1 二維Sum Square函數(shù)預(yù)測值與MC統(tǒng)計結(jié)果的比較

表2 三維Rosenbrock函數(shù)預(yù)測值與MC統(tǒng)計結(jié)果的比較

(a)指數(shù)分布

(b)高斯分布

(c)均勻分布圖1 二維Sum Squares函數(shù)預(yù)測值與統(tǒng)計結(jié)果對比圖

(a)指數(shù)分布

(b)高斯分布

(c)均勻分布圖2 三維Rosenbrock函數(shù)預(yù)測值與統(tǒng)計結(jié)果對比圖

2 離心葉輪內(nèi)流場數(shù)值計算方法

借助NUMECA Fine/Turbo軟件,求解三維定常雷諾時均N-S方程,獲得離心葉輪氣動性能和內(nèi)部流場。采用4階Runge-Kutta法進行時間項離散,采用2階中心格式并添加人工黏性的方法進行對流項離散,湍流模型采用S-A模型,并采用多重網(wǎng)格、當?shù)貢r間步長和隱式殘差光順技術(shù)進行加速收斂。采用單通道計算模型,計算區(qū)域進口給定總溫總壓分布曲線和軸向進氣,出口給定質(zhì)量流量m,在周期性邊界設(shè)定周期性邊界條件,固壁為無滑移絕熱邊界條件。

本文研究對象為具有公開幾何和實驗數(shù)據(jù)的Krain離心葉輪[11],其前后緣葉頂間隙分別為0.5、0.3 mm,在Autogrid模塊中生成葉輪單通道計算網(wǎng)格,如圖3所示。為捕捉葉輪氣動性能和內(nèi)部流場受葉頂間隙幾何不確定性影響下的變化情況,在葉頂間隙處沿葉高方向布置17個節(jié)點。通過網(wǎng)格無關(guān)性驗證,當單通道網(wǎng)格總數(shù)約為630 000時,計算達到網(wǎng)格無關(guān)性要求,數(shù)值計算方法的精度驗證可參考文獻[12]。

圖3 葉輪計算網(wǎng)格

圖4、圖5分別給出了計算所得葉輪子午面速度矢量圖和葉輪出口1.05倍葉輪外徑處周向平均速度沿葉高方向的分布圖。由圖4可知,在葉輪出口靠近輪蓋側(cè)存在明顯流動分離,這與圖5所示的局部速度波動相對應(yīng),故可采用速度波動峰值Vp的大小來定量反映葉輪出口流動的非均勻程度[12]。

圖4 葉輪子午面速度矢量

圖5 葉輪出口附近周向平均速度沿葉高方向分布

3 離心葉輪不確定性流動分析

本節(jié)基于NIPC和CFD方法,研究了Krain離心葉輪葉頂間隙幾何不確定性對葉輪氣動性能和內(nèi)部流場的影響。為簡化分析,選取葉輪葉片進出口位置處的葉頂間隙為兩個獨立的幾何不確定量,沿流動方向的葉頂間隙由進出口的葉頂間隙線性插值得到,由于流場計算為單通道計算,暫不考慮葉頂間隙沿圓周方向的不均勻性。考慮到葉輪葉頂間隙的真實分布規(guī)律難以準確測量,故選取自然界中普遍存在的高斯分布對葉輪葉片進出口位置處的葉頂間隙統(tǒng)計特征進行描述;同時,為保證葉頂間隙在合理的范圍內(nèi)波動,假定葉輪葉片進出口葉頂間隙大小均服從標準差為10%均值的高斯分布,即進口的葉頂間隙均值為0.5 mm、標準差為0.05 mm,出口的葉頂間隙均值為0.3 mm、標準差為0.03 mm。采用NIPC方法生成關(guān)于葉片進出口葉頂間隙的4階5點多項式混沌展式,并針對7個流量工況點進行不確定性分析,共開展175次確定性CFD流場計算。

3.1 葉輪氣動性能統(tǒng)計特征

(a)多變效率

(b)壓比圖6 葉輪氣動性能統(tǒng)計均值與不確定帶分布

圖6給出了預(yù)測所得葉輪多變效率和壓比性能曲線的統(tǒng)計均值和不確定帶,不確定帶表示葉頂間隙在運行中的波動而導(dǎo)致的葉輪效率和總壓比的變化范圍。由圖6可知,不同流量工況下,葉輪多變效率和總壓比在葉頂間隙幾何不確定性影響下的變化范圍基本相當。

3.2 葉輪出口流動非均勻性統(tǒng)計特征

為探究葉頂間隙幾何不確定性對葉輪出口流動均勻性的影響,給出了預(yù)測所得葉輪出口輪蓋側(cè)周向平均速度局部波動峰值Vp在不同流量工況下的統(tǒng)計特性,如圖7所示。由圖7可知,從近喘振工況到近堵塞工況,葉輪出口Vp均值及不確定帶均隨流量的增大逐漸減小,這說明隨著流量的增加葉輪出口靠近輪蓋側(cè)的流動分離逐漸減小,分離流對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度也逐漸降低。在近喘工況下,葉輪出口靠近輪蓋側(cè)的分離流最為明顯,流動非均勻性最差,對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度也最大。

圖7 不同工況下葉輪出口Vp均值與不確定帶分布

3.3 相對馬赫數(shù)分布統(tǒng)計特征

圖8給出了預(yù)測所得設(shè)計工況下不同葉高截面處相對馬赫數(shù)的標準差分布。由圖8可知,在不同葉高截面,相對馬赫數(shù)標準差較大的位置主要集中于流道后部且靠近壓力面的地方,如圖9所示。這主要是因為該區(qū)域相對流速較低,逆壓梯度較大,流動較為不穩(wěn)定,易受葉頂間隙幾何不確定性的干擾。標準差極大值集中于葉輪葉片出口90%葉高截面區(qū)域附近,說明該處流動對葉頂間隙幾何不確定性的敏感度最強,結(jié)合圖4可知,該區(qū)域毗鄰葉輪出口輪蓋側(cè)的流動分離區(qū),流動穩(wěn)定性較弱。此外,由圖8c可知,盡管98%葉高截面更加靠近葉頂間隙區(qū),且葉片出口位于輪蓋側(cè)的流動分離區(qū)內(nèi),但該處流場對葉頂間隙不確定性的敏感程度較90%葉高截面反而有所降低。這主要是因為98%葉高較90%葉高的氣動載荷有所降低,流道內(nèi)逆壓梯度減小,未存在明顯的低速區(qū)。

(a)50%葉高

(b)90%葉高

(c)98%葉高圖8 設(shè)計工況下不同葉高相對馬赫數(shù)標準差分布

圖9 設(shè)計工況下不同葉高處葉片載荷分布

考慮到90%葉高截面的流場最為敏感,圖10進一步比較了另外兩種典型工況下90%葉高截面的相對馬赫數(shù)標準差分布。對照圖8b可知,隨著流量的增大,葉輪出口的標準差逐漸減小,說明葉輪出口流動對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度逐漸降低,這和圖7所示Vp的變化趨勢相對應(yīng)。然而,隨著流量的增大,相對馬赫數(shù)標準差極大值由葉輪葉片出口逐漸轉(zhuǎn)移至葉輪前緣和靠近吸力面的區(qū)域。由此可知,葉輪進口及吸力面附近的流動對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度隨流量的增大而增大。對照圖9、圖11所示葉片表面載荷分布圖可知,隨著流量的增大,葉輪進口及吸力面附近逆壓梯度變大,流動不穩(wěn)定,易受葉頂間隙變化的影響。綜上所述,隨著流量的增大,葉輪出口流動對葉頂間隙的敏感性逐漸減小,而葉輪葉片進口及吸力面附近的流動對葉頂間隙的敏感性逐漸增大,二者相互抵消,這在一定程度上解釋了圖6所示葉輪效率和壓比的不確定帶變化范圍在不同流量工況下基本不變的原因。

(a)近喘振工況m=3.4 kg/s

(b)近堵塞工況m=4.6 kg/s圖10 近喘振與近堵塞工況下90%葉高處相對馬赫數(shù)標準差分布

圖11 近堵塞工況下不同葉高處葉片載荷分布

4 結(jié) 論

(1)非嵌入式多項式混沌法在隨機變量服從不同概率分布的情況下,均具有良好的擬合精度,且相較于蒙特卡洛取樣方法,計算效率顯著提升;

(2)對于Krain離心葉輪,隨著流量的增大,葉輪多變效率和總壓比受葉頂間隙幾何不確定性影響下的不確定帶范圍基本相當,而葉輪出口流動非均勻程度得到明顯改善,且葉輪出口流動的非均勻性對葉頂間隙幾何不確定性的敏感度也逐漸減小;

(3)Krain葉輪90%葉高截面區(qū)域?qū)θ~頂間隙幾何不確定性的敏感度最強,且隨著流量的增大,葉輪出口流動對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度逐漸降低,但葉輪進口及吸力面附近流動對葉頂間隙幾何不確定性的敏感程度反而逐漸增大。