帶奇點(diǎn)的各向異性Moser-Trudinger不等式

胡 彬， 陳火弟

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

(1)

各向異性的Moser-Trudinger不等式也是Moser-Trudinger不等式的一種推廣形式。設(shè)F(x)是正的凸的一次齊次函數(shù)且F∈C2(n(〗0}),函數(shù)F0(x)是F(x)的對偶函數(shù)。眾所周知，F(xiàn)0(x)也是n上的Finsler度量。Wang等(2012)證明了下面各向異性的Moser-Trudinger不等式：若Ω為n上有界光滑區(qū)域，那么對任意的u∈(Ω)和≤1，有不等式：≤C(n)|Ω|。λ≤,kn=|{x∈n∶F0(x)≤1}|，且λn是不等式成立的最佳常數(shù)。受到上面的啟發(fā)，本文創(chuàng)新點(diǎn)是把各向異性的Moser-Trudinger不等式，推廣到帶一個(gè)奇點(diǎn)的各向異性Moser-Trudinger不等式。

1 預(yù)備知識

設(shè)F(x)∈C2(n)(〗0})是n上非負(fù)的偶函數(shù)。進(jìn)一步設(shè)F(x)是凸的一次齊次函數(shù)，即F(tξ)=|t|F(ξ),?t∈,ξ∈n，則存在兩個(gè)常數(shù)0(〗0}中是正定的。由Xie等(2016)的結(jié)果可得Hess(Fn)在n(〗0}中也是正定的。在滿足這些條件的F(x)中，一個(gè)典型的例子是當(dāng)q∈[1,∞)時(shí)，取F(ξ)考慮算子，Qnu∶(u)

Fξi(u))，當(dāng)F(x)≠|(zhì)x|時(shí)，上述算子是非線性的。把這些非線性算子稱為Finsler-laplacian算子(也稱為各向異性的Laplacian算子)。這類算子已取得了不少研究成果(Alvino et al.，1997；Ferone et al.，2009)。

考慮映照φ∶Sn-1→n,φ(ξ)=Fξ(ξ)，其中Fξ=(Fξ1,Fξ2,…,Fξn)。則象集φ(Sn-1)是n上光滑的凸超平面，稱之為F的Wulff形。設(shè)集合K∶={x∈n∶F(x)≤1}，定義支撐函數(shù)F0(x)∶(x,ξ)。顯然F0(x)也是C2(n(〗0})中凸的齊次函數(shù)，F(xiàn)0(x)是F(x)的對偶函數(shù)，并且,，所以有φ(Sn-1)={x∈n|F0(x)=1}。記集合{x∈n|F0(x)≤1}的Lebesgue測度為κn。另記Wr(0)∶={x∈n|F0(x)≤r}，稱為中心在原點(diǎn)，半徑為r的Wulff球。

(2)

下面給出函數(shù)關(guān)于F0的凸對稱定義。凸對稱是Schwarz對稱，參考(Talenti,1976)?？紤]Ω?Rn上的可測函數(shù)μ的一維遞減重排μ*=sup{S≥0∶|{x∈Ω∶|μ(x)|>s}|>t,t∈。

函數(shù)μ關(guān)于F0的凸對稱定義為μ#(x)=μ*(κnF0(x)n),x∈Ω*。這里κnF0(x)n是同位于半徑為F0(x)的Wulff球的Lebesgue測度，Ω*是中心在原點(diǎn)的wulff球且與Ω有相同的測度。由Alvino等(1997，2009)可知：

引理1 關(guān)于凸對稱化函數(shù)u*，有以下結(jié)論：

(3)

2 主要結(jié)論的證明

本文把各向異性的Moser-Trudinger不等式，推廣到帶一個(gè)奇點(diǎn)的各向異性Moser-Trudinger不等式。得出以下結(jié)論：

(4)

同時(shí)

(5)

為方便證明記|Ω|=|WR(0)|(|·|為Lebesgue測度)。不等式(4)只是運(yùn)用H?lder不等式的簡單結(jié)果。實(shí)際上，對滿足βt1時(shí)，有

設(shè)u#(r)是u關(guān)于F0(x)的凸對稱重排(r=F0(x))，根據(jù)余面積公式，可得

(6)

再利用Hardy-Littlewood不等式和余面積公式，可得

(7)

(8)

并且

(9)

綜合式子(6)，(7)，(8)和(9)得到

(10)

(11)

計(jì)算得到

并且

3 結(jié)論

本文利用余面積公式與凸對稱重排法把各向異性的Moser-Trudinger不等式推廣到帶一個(gè)奇點(diǎn)的各向異性的Moser-Trudinger不等式，并最終證明了此不等式。