穩(wěn)中求變 變中求新

沙志祥

[摘 ?要] 本文通過分析南通中考試題特點，查找學生錯誤原因，研究今后的教學對策.

[關鍵詞] 穩(wěn)定;求新;錯因;對策

今年是南通使用老教材的最后一年，中考試題如何命題，才能既適應課改的趨勢、實現新老教材的銜接，又能有利于高校選拔，本文以今年中考第28題為例，談談筆者對今年中考解答題的認識與體會.

試題再現

（2014年南通中考第28題）如圖1所示，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC交于點E，與x軸交于點F.

（1）求線段DE的長;

（2）設過點E的直線與拋物線相交于點M（x，y），N（x，y），判斷當x-x為最小時，直線MN與x軸的位置關系，并說明理由;

（3）設點P為x軸上一點，∠DAO+∠DPO=∠α，當tan∠α=4，求點P的坐標.

試題特點

1.體現南通中考數學穩(wěn)定為主的特點.

以二次函數為背景，考查學生運用數學知識解題的能力，是近幾年南通中考的趨向，所以今年中考的設計讓學生從熟悉的二次函數y=-x2+2x+3出發(fā)，第一問考查了兩點之間的距離、用待定系數法求一次函數解析式及會用配方法或公式法求頂點坐標;第二問與南通去年中考第28題（2）類似，主要考查了根與系數的關系及一次函數中k的幾何意義;第三問與前年南通中考第28題（3）類似，基本保持了南通中考試題的穩(wěn)定性，要求學生處理運動問題時會進行分類討論，會用三角函數的定義法解題及將復雜圖形轉化為基本圖形求解，讓學生經過獨立思考，發(fā)現柳暗花明又一村的感覺，三個問題既互相獨立，又具有層次性，體現了問題設計由淺入深、循序漸進、逐步提高的原則，有利于各層次學生的發(fā)揮，在問題的設計上遵循上一個問題不會解答，不影響下一個的思考，重在思維，沒有偏、難、怪題，體現數學數形結合的重要性.

2.體現南通中考數學穩(wěn)中求新的特點.

問題（1）的設計改變了重在考查三元一次方程組的解法，轉為直接告知解析式，設計為求過拋物線的頂點平行于y軸直線上兩點之間的距離. 第二問充分抓住圖形中的特殊點E，通過旋轉知道過點E的直線有無數條，這些直線與拋物線相交形成線段，必然有長短，由線段最短時來判斷直線與x軸的位置關系，這樣就有了創(chuàng)新，既保持了與去年相同考了根與系數關系，又考了二次函數最值的求法、兩直線的位置關系. 在2012年南通中考28題（3）的問法的基礎上又有一定的創(chuàng)新，將兩個角的和等于第三個角改成了等于一個非特殊角，且已知該角的正切，強化了三角函數定義法解題的應用，有利于引領學生思考，尋找解決問題的方法，發(fā)現和整理屬于自己的解題策略.

典型錯誤

1. 審題不清匆忙作答.

問題（1）的設計從熟悉的二次函數解析式y(tǒng)=-x2+2x+3出發(fā)，求過拋物線的頂點且平行于y軸的直線上的特殊點之間的距離， 但是考試時發(fā)現學生由于平時的訓練求x軸兩點之間的距離較多，因此出現了學生求出AB長等于4，就認為是DE的長，也有人看成了只求頂點的縱坐標，即把求線段DE看成求線段DF的長.

2. 基本知識不牢固.

問題（2）判斷直線MN與x軸的位置關系時，不少學生根據要求求出了E的直線MN中k=0，但是卻不知道MN與x軸的平行關系，原因是學生對一次函數y=kx+bk≠0的定義印象很深，但是不知道為什么要加k≠0，概念不清，誤以為k=0是無解，直線不存在，導致錯誤.

3. 綜合解題能力不強

問題（2）在設過點E的直線時，由于含有字母系數方程，學生的綜合計算能力不強，導致錯誤. 第三問與2012年南通中考第28題的解題方法類似，在原有問題的基礎上將兩個角的和等于第三個角改成了等于一個非特殊角，且已知該角的正切值，強化了三角函數定義法解題的應用，將在y軸上找一點改成在x軸上找一點，其基本方法都是要先找到一個角等于已知的兩個角的和. 由于學生的綜合分析和解決問題能力不強，不能將復雜圖形轉化為基本圖形求解，不能將運動問題進行全面分類討論，導致漏解.

正確解答

（1）解法一：令y=0，得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0），頂點D（1，4），所以DF=4. 設直線BC的解析式為y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得直線BC的解析式為y=-x+3. 當x=1時，y=2，所以E（1，2），EF=2. 所以DE=DF-EF=4-2=2.

解法二：因為C（0，3），A（-1，0），B（3，0），所以OB=OC=3. 所以∠CBO=45°. 又 AB=4，所以EF=BF=2. 因為DF=4，所以DE=2.

（2）設過點E（1，2）的直線MN的解析式為y=mx+n，得m+n=2，所以y=mx+2-m.

由y=mx+2-m，y=-x2+2x+3 得x2+（m-2）x-1-m=0，所以x+x=2-m，xx=-1-m.

所以x-x===.

所以當m=0，即y=2時，x-x最小，此時直線MN與x軸平行.

（3）解法一：當點P在對稱軸右側時，設PD交y軸于點N，AD交y軸于點H，過點N作NM⊥AD于點M.

因為A（-1，0），D（1，4），所以直線AD的解析式為y=2x+2.

所以H（0，2）. 所以DH=.

tan∠AHO===tan∠NHD=. 設NM=a，則HM=2a，∠DAO+∠DPO=∠α=∠NDA. 因為tan∠α=4，所以MD=.

因為DH=DM+MH， 所以=2a+. 所以a=. 所以MN=，MH=. 所以HN=. 所以N0，. 所以直線ND的解析式為y=-x+，此時P（19，0）.

根據對稱性，還存在另一點P（-17，0）滿足條件.

解法二：因為D（1，4），所以tan∠DOF=4=tan∠α. 所以∠DOF=∠α. 因為∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α=∠DAO+∠DPO，所以∠DPO=∠ADO.

若點P在DF右側，則△ADP∽△AOD，所以AD2=AO·AP. 又AD2=AF2+DF2=20，AO=1，所以AP=20. 所以OP=19，此時P（19，0）.

同理可得，點P在DF左側時，△OAD∽△ODP，可求出OP=17，此時滿足條件的點P的坐標為（-17，0）.

教學反思

1.進一步重視教材教學，抓好基礎，提高學生的數學基本技能和對基本思想方法的掌握.

教材對一次函數的定義是：形如y=kx+bk≠0，叫y是x的一次函數，因此在閱卷中就發(fā)現有學生求出了k=0，但是學生卻不敢給出直線與x軸的位置關系，認為自己做錯了，放到一邊不再做了，如果我們初三復習的時候強調了k的幾何意義，k表示直線的傾斜程度，k=0表示直線與x軸平行，學生就不會不敢作答了. 這道試題給了我們一個在今后的教學中如何理解教材的引領和示范作用，要求我們的學生在新知的學習中不斷地質疑，形成知識體系. 因為只有質疑才能真正學到別人學不到的知識. 同時，要求我們在指導初三學生復習時深鉆教材，如果只是讓學生整天埋頭做大量的課外試題，實際上是本末倒置，得不償失. ？搖？搖

2.進一步抓好基本圖形的通解通法，重變形，促進學生能力的提升.

tan∠NHD=，tan∠NDH=4，在解直角三角形的學習中，我們強化了用定義法解題，平時只是指導學生已知一個角是非特殊角的三角函數值，要用定義法解三角形，并沒有進一步引導學生思考兩個角是非特殊角的三角函數怎么辦？思考第三問的實質就是：如圖3所示，在△DHN中，DH= ，求HN的長. 平時的學習中這類圖形見過不少，只是平時都是已知∠H及∠D是特殊角，求HN的長，沒有進一步引導學生，告訴了特殊角，實際上就相當于告訴了角的三角函數值，此時已知了非特殊角的三角函數值與已知特殊角是一樣的，都是過第三個角的頂點作高，轉化為解兩個直角三角形. 這些都要求我們在平時抓基本圖形的教學時，注重變式和拓展訓練，要真正教會學生化歸的方法和解決這類問題的實質，引領學生思考，不斷激發(fā)和培養(yǎng)學生的數學化思考，引領學生的思維向縱深發(fā)展，尋找解決問題的方法，發(fā)現和整理屬于自己的解題策略，這樣，學生才能真正做到以不變應萬變.

3. 進一步重過程、防粗心，強反思，理清錯因，切實提高學生的學習水平.

第二問中當線段MN最小時，不少學生能抓住過點E的直線有無數條及拋物線的對稱性，會猜想到當MN平行于x軸時，MN最小，但是在解含有字母系數的方程時，卻發(fā)生錯誤. 還有學生在做第三問的運動問題時，沒有分類討論，導致考慮問題不全面而被扣分，這些問題的出現說明了我們在找到解決問題的方法時，要細心，過好計算關，運動問題一定要將點全程動一遍，確定分點，確保分類討論的全面性.這就 要求我們在今后的教學中要及時引導學生反思自己的錯誤，準備一個錯題本，對一些易錯、易忘的問題隨時做好筆記，根據個人的具體情況，查漏補缺，做到知識、解題方法歸類，在形成知識結構的基礎上加深記憶，對經常錯的知識及時進行歸類、分析、反思：解該題時哪些步驟容易出錯？用了哪些知識和方法？該問題的難點在哪里？在知識、思想方法上我還存在哪些缺陷？我是如何突破的等. 并提醒學生經常翻閱，以此培養(yǎng)學生養(yǎng)成及時發(fā)現自己的問題與弱點的能力.