創(chuàng)設(shè)有效問題情境 培 養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)—以《正弦定理(第一課時)》的證明為例

江蘇省姜堰第二中學(xué)(225500) 張新志

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出:“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的問題情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考和交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).教學(xué)情境是多樣性的,每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升.也就是說在教學(xué)活動中,應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)有效的問題情境,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展”.

人教社章建躍老師指出,一節(jié)好課的基礎(chǔ)是老師要“理解數(shù)學(xué)”、“理解學(xué)生”、“理解教學(xué)”、“理解技術(shù)”.數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容所反映的思想方法,假若老師對數(shù)學(xué)內(nèi)容理解不到位,一切也都是空談;理解學(xué)生的核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律,也是“以學(xué)定教”的前提;理解教學(xué)的核心就是對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的認(rèn)識和教學(xué)機(jī)智的運(yùn)用策略水平;理解技術(shù)就是善于利用信息技術(shù)手段輔助于教學(xué).

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》,新增了學(xué)科核心素養(yǎng)、課程結(jié)構(gòu)、學(xué)業(yè)質(zhì)量三個重要的部分,同時課程標(biāo)準(zhǔn)還圍繞核心素養(yǎng)和教學(xué)評價給予了相關(guān)案例,幫助高中數(shù)學(xué)老師在教學(xué)實(shí)踐過程中更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).核心指導(dǎo)思想是以學(xué)生發(fā)展為本,促進(jìn)學(xué)生在不同的學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.文2從MPCK的角度認(rèn)為問題情境的引入應(yīng)該從學(xué)生熟悉的直角三角形邊和角之間的關(guān)系入手.文3認(rèn)為從日常的測量問題引入,創(chuàng)設(shè)問題情境.本節(jié)課的重點(diǎn)是基于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),創(chuàng)設(shè)開放的、發(fā)揮學(xué)生主體意識的問題情境,讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)中去尋求三角形的邊角關(guān)系,教師著眼于課堂教學(xué),讓問題情境變的更有效！

基于此,在市級教學(xué)觀摩課,課題內(nèi)容是蘇教版數(shù)學(xué)必修五1.1正弦定理(第一課時),教學(xué)設(shè)計(jì)時改變了問題情境的引入方式,力求讓問題情境更有效,基于學(xué)生已有的知識,通過問題的解決,引發(fā)學(xué)生對任意三角形邊角關(guān)系的探究.

1.教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)有效情境,指向問題解決

問題1如圖1,河的兩岸有兩座燈塔分別為A和B,現(xiàn)在不過河的情況下,要測得A和B之間的距離,如果我們有足夠長的卷尺和能夠測量角的測角儀.你能測量出AB之間的距離嗎?

圖1

教學(xué)備注情境教學(xué)不僅僅要發(fā)揮學(xué)生的主體性,還要激發(fā)學(xué)生的興趣,本問題是從日常學(xué)生熟悉的測量問題入手,創(chuàng)設(shè)情境使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的渴望.問題提出后,學(xué)生積極性很高,連平時不愿意回答問題的學(xué)生也躍躍欲試.

生1:可以沿垂直于AB的方向行走到C點(diǎn),用測角儀測出角∠ACB=45°,A和B之間的距離就是線段BC的長！

師:很好,我們可以利用卷尺和測角儀求出AB的長度.

問題2如圖2,如果BC之間有座山怎么辦呢?

圖2

教學(xué)備注“數(shù)學(xué)是思維的體操.”教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué),是思維過程的教學(xué),思維活動匱乏的數(shù)學(xué)課是不成功的,往左側(cè)作等腰直角三角形的辦法是行不通了,往右是河也行不通！問題2的設(shè)計(jì)充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性,很好的激發(fā)了學(xué)生的思維,從而提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.

生2:可以從B點(diǎn)沿垂直于AB的方向往左或右行走到C,測出BC的長,再測出∠ACB的大小,利用直角三角形可以求出AB之間的距離.

問題3如果規(guī)定不能沿著垂直于AB的方向行走呢?

生3:可以調(diào)整行走方向！

師:那誰能說一下調(diào)整行走方向以后,如何求AB之間的距離呢?

生 4:如圖 3,∠ABC=120°沿的方向行走至點(diǎn)C,使得∠BCA=45°,利用卷尺能測出BC的長.

圖3

師:那現(xiàn)在也不知道BA之間的距離啊！

生5:可以從B點(diǎn)向AC作垂線BD,在直角三角形BCD中能求出BD的長,又因?yàn)椤螧AC=15°,所以在直角三角形ABD中能求出AB的長.

師:如果∠ACB=α,∠ABC=β,BC=a,如何求AB的長呢?

學(xué)生都異常興奮,大聲齊喊:作垂直轉(zhuǎn)化成直角三角形！

教學(xué)備注蘇霍姆林斯基說過:“在人的心頭深處有一種根深蒂固的需要,這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”.筆者所創(chuàng)設(shè)“問題情境”正是為了滿足學(xué)生這一需求.激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上組織學(xué)生高度地參與數(shù)學(xué)思考活動.

師:對于解三角形問題,如果我們每次都是作垂線轉(zhuǎn)化成直角三角形是不是很麻煩啊?

生:齊聲喊“是”.(此時班級氣氛異?；钴S)

師:我們知道三角形有六個元素,三條邊和三個角,三角形的邊和角之間到底有什么關(guān)系呢?

(此時教師板書“解三角形”)

師:研究未知我們往往都是先從熟知開始,同學(xué)們想一想,我們首先要研究哪種三角形呢?

生6:直角三角形.

1.2 以舊知為起點(diǎn),特例發(fā)現(xiàn)新知

圖4

問題4直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關(guān)系?

生7:應(yīng)該也成立吧.

圖5

教學(xué)備注學(xué)生從未知到熟知的認(rèn)知過程是一步一步走進(jìn)的,需要搭建一個一個臺階,從特殊的三角形開始探索,啟發(fā)學(xué)生思考所學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系,體現(xiàn)了從特殊到一般的的數(shù)學(xué)思想方法.又引導(dǎo)學(xué)生猜想,在一般的三角形中,比值是否也相等?猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說“真正的數(shù)學(xué)家——常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想,然后加以證實(shí).”,華羅庚說:“數(shù)缺形少直觀,形缺數(shù)難入微.”,通過幾何畫板的演示給了學(xué)生創(chuàng)造一個實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境.讓學(xué)生通過任意拖動點(diǎn)C、觀察比值、猜測并驗(yàn)證結(jié)論,從而更有助于學(xué)生理解和證明.

1.3 歸納概括猜想,證明得出定理

師:上述的探索過程所得的結(jié)論,只是我們通過猜想驗(yàn)證得到的結(jié)果,我們?nèi)绾巫C明呢?前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)?

生8:由問題情境,我們可以采用分類討論的思想,可以分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三類分別來證明,類似于問題情境的解決思路,利用作高線最終轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系來證明.

圖6

(學(xué)生小組合作,把證明過程寫在紙上,利用展示臺進(jìn)行班級展示.)

證明(1)若∠C為直角,我們已經(jīng)證明結(jié)論成立.

圖7

教學(xué)備注波利亞說:“為了得到一個方程,我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來,即將一個量算兩次,從而建立相等關(guān)系.”,這種證法就是運(yùn)用算兩次的方法,找出了三角形中邊和角之間的關(guān)系,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),選擇小組合作各組展示的教學(xué)方式,通過作高線的方法,把陌生轉(zhuǎn)化為熟悉,這種證法滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要思想,通過教學(xué)讓學(xué)生理解正弦定理的內(nèi)涵,讓學(xué)生感受“觀察—猜想—證明”的科學(xué)研究問題的思路.

師:正弦定理研究的是任意三角形的邊角關(guān)系,觀察式子結(jié)構(gòu),里面有邊及其邊的夾角,我們在前面學(xué)習(xí)了平面向量,向量是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具,那么同學(xué)們能否用向量的知識證明正弦定理?

師:怎樣將此向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系?

生9:等式兩邊平方.

生11:要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.

生12:向量的數(shù)量積可以將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,同時還要想辦法將有三個向量的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為兩個向量或數(shù)值的關(guān)系式.特別地當(dāng)兩個向量垂直時,利用點(diǎn)乘法能得到數(shù)量積為0,所以優(yōu)先考慮選取相互垂直的向量.

師:很好,如果兩邊平方,同學(xué)們在一不小心的情況下就證明出了余弦定理,那如何轉(zhuǎn)化?

圖8

教學(xué)備注向量融長度和角度于一體,學(xué)生雖然學(xué)習(xí)過向量知識,但以向量為載體證明正弦定理還是比較困難的.在引導(dǎo)學(xué)生利用向量去證明正弦定理,無論是基于學(xué)生個性差異的視角或基于動機(jī)激發(fā)的視角,都?xì)w結(jié)于在課堂活動中如何激發(fā)學(xué)生參與的動力,在向量往數(shù)量轉(zhuǎn)化的方法中學(xué)生的思路比較多,要肯定學(xué)生的想法,不能為了完成證明而變成教師的獨(dú)角戲,而是師生之間的大合唱.

2.教學(xué)反思

數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的重點(diǎn).本節(jié)課的設(shè)計(jì)使學(xué)生經(jīng)歷了“觀察——猜想——驗(yàn)證——證明”的思維歷程,讓學(xué)生學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法.讓學(xué)生從有效的問題情境中不斷地去探索問題的解決、定理內(nèi)涵的挖掘,從知識上加深對概念、定理的理解.從具體的問題情境,引發(fā)學(xué)生的思考與探究.再從特殊的直角三角形入手,結(jié)合學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn),進(jìn)行發(fā)散式猜想與探究,提出猜想,并通過幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證.其次,在證明猜想的教學(xué)環(huán)節(jié),讓學(xué)生參與到課堂,采取小組合作的方式,分組對公式進(jìn)行證明.在用向量法證明定理,肯定了學(xué)生的思路,力求讓學(xué)生在課堂上能有收獲和喜悅感.在證明過程中,讓學(xué)生體會類比轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,并提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

2.1 基于思維發(fā)展,創(chuàng)設(shè)有效情景

古希臘學(xué)者亞里士多德說:“思維是從疑問和驚奇開始的.”對事物產(chǎn)生疑問是產(chǎn)生探究和思維的前提,成為創(chuàng)新思維的起點(diǎn).對數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生疑問,學(xué)生就會脫離大腦中的思維定勢,不再受既有方法的束縛,通過對生活中的實(shí)際問題的獨(dú)立思考和推理判斷,得出正確的結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn)解決新問題的途徑,并能夠提出自己的獨(dú)特見解,提高思維能力,培育核心素養(yǎng).

創(chuàng)設(shè)有效問題情境,注重以問題驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)思考.問題是數(shù)學(xué)的心臟,通過創(chuàng)設(shè)生活化的教學(xué)情景,提出測量兩點(diǎn)之間距離的解決方法,在問題情境中設(shè)計(jì)了三個問題,三個問題環(huán)環(huán)相扣,激發(fā)了學(xué)生的求知欲,驅(qū)使學(xué)生積極主動探究出問題的解決方法.又運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略,把問題情境流暢的導(dǎo)入到學(xué)生熟悉的直角三角形,學(xué)生自主探究,提煉出了正弦定理的本質(zhì)屬性.

2.2 回歸數(shù)學(xué)本真,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

所謂本真,是指本原真實(shí)的原貌.數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),重視數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示,關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)生態(tài),關(guān)注課堂動態(tài)生成,追尋屬于數(shù)學(xué)教學(xué)的“本真”境界,積極構(gòu)建高效生態(tài)課堂.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過分注重激發(fā)學(xué)生的興趣,創(chuàng)設(shè)一些不切合學(xué)生實(shí)際的問題情境,致使問題情境形式花樣繁多,令人眼花繚亂.這一現(xiàn)象使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)逐漸趨向低效或者無效,從而無法保證師生對話活動的有效性.教師沒有遵循學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知本真規(guī)律,忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、解決問題的主動性,應(yīng)從學(xué)生實(shí)際認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā),符合學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律有針對性地靈活施教,課堂教學(xué)“真”,促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)、有效地“發(fā)生”,學(xué)生有了興趣,才會主動參與.構(gòu)建有利于學(xué)生思維發(fā)展的本真課堂教學(xué)結(jié)構(gòu),使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命的活力,使課堂形成提出問題、分析問題、解決問題的對話模式,涌動數(shù)學(xué)本真課堂的靈性.

2017版新課標(biāo)的核心指導(dǎo)思想是以發(fā)展學(xué)生為本,注重學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,現(xiàn)代的教育更應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生心理自然的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光思考問題’’,“用數(shù)學(xué)的視角看待問題”,數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要應(yīng)順應(yīng)學(xué)生心理自然的發(fā)展,還要調(diào)動學(xué)生的思維想象能力.葉瀾教授說:把課堂還給學(xué)生,讓課堂煥發(fā)出生命的活力.基于此,筆者覺得數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)更應(yīng)該具有有效性,讓學(xué)生形成綜合和持久性的核心素養(yǎng)去設(shè)計(jì),促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成.

但環(huán)顧當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué),教師在課堂上沒有給學(xué)生充足的時間去探索,學(xué)生實(shí)踐探索的空間變窄,學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情受到嚴(yán)重打壓.只有依托學(xué)情和教材內(nèi)容,搭建合理的探究平臺,關(guān)注學(xué)生的發(fā)展,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)育.

正弦定理的教學(xué)過程中,設(shè)計(jì)了一個學(xué)生比較熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)際問題,根據(jù)情境,不停地改變情境,進(jìn)行有效的追問,提高了學(xué)生的興趣,使其快速地進(jìn)入到研究者的角色.以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生按照由特殊到一般的探究思路,讓學(xué)生的思維由問題開始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推導(dǎo),并逐步得到深化.不斷挖掘他們的潛能,讓他們享受成功的喜悅.本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了有效的問題情境,啟發(fā)了學(xué)生的獨(dú)立思考,形成和發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).