“類比法學(xué)案設(shè)計(jì)”實(shí)例*

廣東省潮州市金山中學(xué)(510000) 林妍濱

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510000) 郭施敏

1、學(xué)案的學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.1 知識(shí)目標(biāo)

1、借助具體實(shí)例,從生活實(shí)際問題的解決來理解在空間中建立柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的意義;

2、類比平面極坐標(biāo)系,掌握柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系中刻畫空間點(diǎn)的位置和方法;

3、體會(huì)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)位置的方法的差異.

1.2 能力目標(biāo)

1、運(yùn)用類比,理解各空間坐標(biāo)系建立的意義,掌握用柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)刻畫空間中的點(diǎn)的方法;

2、通過類比,能夠進(jìn)行空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)的互化;

3、運(yùn)用類比,通過提出新問題,形成新結(jié)論,體會(huì)在極坐標(biāo)系中怎樣建立空間簡(jiǎn)單圖形(如球心在極點(diǎn)的球)的方程的過程.

1.3 情感目標(biāo)

通過本學(xué)案的學(xué)習(xí),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到:知識(shí)來源于實(shí)踐,又應(yīng)用于實(shí)踐.學(xué)習(xí)中要多思考,多探求,勇于創(chuàng)新.體會(huì)“類比法”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用步驟和價(jià)值.

1.4 學(xué)案實(shí)例

一、“平面極坐標(biāo)建立與空間柱坐標(biāo)建立的類比”學(xué)案實(shí)例

_回顧舊知_______________________識(shí)建立新知識(shí)________________________平_____________________________面極坐標(biāo)系 空間柱坐標(biāo)系________________________________________________________________________________________________步驟一、確定相似對(duì)象1、圖形特征的類比故事:假設(shè)你是地道的北京人,某天在路上遇到一個(gè)外國(guó)人問路,“鳥巢怎么走?”你會(huì)選擇以下哪種方式回答?A.以北京天安門為中心原點(diǎn)......x軸正方向是......y軸正方向是......單位為......建立一個(gè)直角坐標(biāo)系.B.以我們所站位置為基點(diǎn),以正_____西方向?yàn)閰⒄?向_____________________________________________東北方向走故事:如圖,在圓形體育場(chǎng)內(nèi),你站在看臺(tái)上的某個(gè)位置A,你的朋友站在體育場(chǎng)中心O上,他怎么描述你的位置呢?類比“平面的極坐標(biāo)系”,如何建立“柱坐標(biāo)系”.

3、幾何意義類_比結(jié)合以下圖形,試敘述“平面極坐標(biāo)”的概念類比平面極坐標(biāo),試結(jié)合圖形敘述“柱坐標(biāo)”的概念.___________________________步驟二、研究共性1、各坐標(biāo)間互化的性質(zhì)的類比平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化設(shè)點(diǎn)M 的極坐標(biāo)為(ρ,θ),直角坐標(biāo)為(x,y).寫出互化的公式是:___空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化設(shè)點(diǎn)M 的柱坐標(biāo)為(ρ,θ,z),空間直角坐標(biāo)為(x,y,z).寫出互化的公式是:____..習(xí)題:1、點(diǎn)M 的極坐標(biāo)(習(xí)題:1、點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)(1,■),則直角坐標(biāo)為( ).2、點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,-2),則它的極坐標(biāo)為( ).答案:(-1,■2,2 3 π 3,4),則柱坐標(biāo)為( ).2、柱坐標(biāo)為(,它的直角坐標(biāo)為( )答案:2,π)6,7(3),(2■2,-π)2,5 π 3,4,(■)4設(shè)計(jì)意圖 加深對(duì)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的聯(lián)系和區(qū)別的理解.3,1,7).設(shè)計(jì)意圖 類比平面各坐標(biāo)間的互化,解決空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化問題.雖然書上沒有提出該類知_________________________________________________________________________________________識(shí),但我們可以在類比中輕松掌握.__________________________步驟三、研究差異1、對(duì)應(yīng)關(guān)系的類比思考1、給定極坐標(biāo) M(ρ,θ),是否在平面上可以確定唯一的一點(diǎn)?2、給定平面上一點(diǎn),是否確定唯一的極坐標(biāo).3、極坐標(biāo) (ρ,θ) 與點(diǎn)是否一一對(duì)應(yīng)?(提示:極徑有正有負(fù);極角有無數(shù)個(gè).但是,有統(tǒng)一表達(dá)式兩個(gè),詳見教材.)設(shè)計(jì)意圖 意在考察“平面極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無窮多個(gè)”,這是由“終邊相同角”及“ρ可_____取正負(fù)________________________________________________________”決定的.思考1、給定柱坐標(biāo) M(ρ,θ,z),是否可以確定空間上唯一的一點(diǎn)?2、給定空間中的一點(diǎn),是否有唯一的柱坐標(biāo).3、柱坐標(biāo) (ρ,θ,z)與點(diǎn)是否一一對(duì)應(yīng)?設(shè)計(jì)意圖 類比“平面極坐標(biāo)的性質(zhì)”,研究?jī)烧叩牟町?加深理解柱坐標(biāo)類似的性質(zhì)及其限制條件,即“ρ≥ 0,0≤ θ＜ 2 π,-∞ ＜ z＜ +∞”,使問題化難為易,化繁為簡(jiǎn).

____________________________________________________________________________________步驟四、提出新問題1、極坐標(biāo)方程建立的類_比簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程1.極坐標(biāo)方程ρ=1表示( )2.極坐標(biāo)方程θ=2 3 π表示( )答案:圓心在極點(diǎn),半徑為1的圓;過極點(diǎn)的直線(ρ可以取負(fù)數(shù)時(shí))設(shè)計(jì)意圖 通過用極坐標(biāo)方程表示簡(jiǎn)單圖形,體會(huì)使用恰當(dāng)坐標(biāo)系的意義并熟悉坐標(biāo)中數(shù)形結(jié)合的思想.簡(jiǎn)單的柱坐標(biāo)方程1.柱坐標(biāo)方程ρ=3表示( )2.柱坐標(biāo)方程θ=2 3 π表示( )答案:z軸為中心軸的圓柱面,過z軸的半平面.設(shè)計(jì)意圖 類比二維,擴(kuò)充到三維,兩者的差異一目了然,使學(xué)生掌握一些較為簡(jiǎn)單的曲線柱坐標(biāo)方程.

二、“平面極坐標(biāo)建立與空間球坐標(biāo)建立的類比”學(xué)案實(shí)例

步_回顧舊知識(shí)_______________________建立新知識(shí)_______________________驟平面極坐標(biāo)系_____________________空間柱坐標(biāo)系______________________________________________步驟一、確定相似對(duì)象1、圖形特征的類比操作:書上思考題P 9,某校園的平面示意圖,假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓A處,在已學(xué)習(xí)平面極坐標(biāo)的概念后,標(biāo)出A B C D E的各點(diǎn)極坐標(biāo).(如下圖)(提示:要注意先確定極點(diǎn)和極軸,然后再確定每個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo))閱讀:1、在航空航天領(lǐng)域,人們是怎樣確定航天器的準(zhǔn)確位置?(閱讀材料,書上p 1 7)2、閱讀相關(guān)材料,結(jié)合下圖“地理上的球坐標(biāo)”.思考地球上的“經(jīng)度”與“緯度”如何定義?設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過操作已學(xué)知識(shí)的習(xí)題,對(duì)舊知識(shí)點(diǎn)的某些本質(zhì)屬性進(jìn)行梳理歸納,更便于類比法的實(shí)施.設(shè)計(jì)意圖 從平面由圓圈組成的極坐標(biāo)到空間由球面組成的球坐標(biāo)間進(jìn)行類比.結(jié)合球坐標(biāo)建立的實(shí)際意義,使唯度的變化更為清晰直觀.__2、坐標(biāo)建立的意義的類______________________________________________________________________比回顧:下圖為極坐標(biāo)系.1、點(diǎn)M 的坐標(biāo)值ρ,θ分別代表什么?2、它與半徑為ρ,圓心在極點(diǎn)上的圓周是什么位置關(guān)系?思考:下圖為球坐標(biāo)系.1、點(diǎn)P的坐標(biāo)值r,φ,θ分別代表什么?2、它與半徑為r,球心在極點(diǎn)的球面是什么位置關(guān)系?_______________________________________________________________________________________________步驟二、研究共性1、各坐標(biāo)間互化的性質(zhì)的類比平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化設(shè)點(diǎn)M 的極坐標(biāo)為 (ρ,θ),直角坐標(biāo)為(x,y).寫出互化的公式是:____空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)互化設(shè)點(diǎn) M 的球坐標(biāo)為(r,φ,θ),空間直角坐標(biāo)為(x,y,z).寫出互化的公式是:____習(xí)題:1、化直角坐標(biāo)系方程y=■2 x-x 2的極坐標(biāo)方程.2、化極坐標(biāo)方程ρ=2為直角坐標(biāo)方程.(提示,要注重互化公式的用,要注意變形的等價(jià)性)答案:ρ = 2 c o s θ習(xí)題:1、點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)(1,-■3,4),則柱坐標(biāo)為( ),球坐標(biāo)為( ).2、點(diǎn)M 的球坐標(biāo)為(2,3 4 π,3 4 π),(0≤θ≤π);x 2+y 2=4.(等式兩邊先平方再代入公式)設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生加深用極坐標(biāo)與_____直角坐標(biāo)之間互___________________化的應(yīng)用.2它的直角坐標(biāo)為( )(提示:比較平面直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化應(yīng)用,該題較為簡(jiǎn)單,但對(duì)于互化過程須采用“類比操作”和“類比應(yīng)用”會(huì)較為簡(jiǎn)單易懂.)答案:(3,1,7).設(shè)計(jì)意圖 類比平面到空間直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的共性.___________2,5 π)3,4;(■___________________________________________________________________________________________步驟三、研究差異1、對(duì)應(yīng)關(guān)系的類_____比思考:1.平面直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)的坐標(biāo)是否為確定值?2.平面極坐標(biāo)的一點(diǎn)的坐標(biāo)是否為確定值?設(shè)計(jì)意圖 再次強(qiáng)調(diào)平面極坐標(biāo)系下,點(diǎn)與極坐標(biāo)是“一對(duì)多”的關(guān)系,多值性是它與直角坐標(biāo)的重要區(qū)別.__思考:1.空間直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)的坐標(biāo)是否為確定值?2.空間極坐標(biāo)(即球坐標(biāo))中的一點(diǎn)的坐標(biāo)是否為確定值?設(shè)計(jì)意圖 類比平面極坐標(biāo)系,明確在空間的極坐標(biāo)系(即球坐標(biāo)系)中,點(diǎn)和坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系._________

2、極坐標(biāo)方程建立的類_____________________________________比簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程1、當(dāng)ρ=常數(shù)時(shí),該極坐標(biāo)方程的圖形是什么?2、當(dāng)θ=常數(shù)時(shí),該極坐標(biāo)方程的圖形是什么?答案:1、以極點(diǎn)為圓心的圓周;2、過極點(diǎn)的射線(當(dāng)ρ可取負(fù)數(shù)時(shí)為直線).簡(jiǎn)單的球坐標(biāo)方程1、r=r 0(r 0為正常數(shù)),是什么圖形;2、θ = θ 0(0 ≤ θ 0 ＜ 2 π),是什么圖形;3、φ = φ 0(0≤ φ 0≤ π),是什么圖形.答案:1、以極點(diǎn)為心的球面;2、過z軸,與z O x坐標(biāo)面的夾角為θ 0的半平面;3、頂點(diǎn)在極點(diǎn),半頂角φ 0的圓錐面,中心軸為z軸._______________________________________________________________________________________________步驟四、提出新問題1、應(yīng)用的類比拓展創(chuàng)新1、怎樣在平面極坐標(biāo)中確定已知的圓與直線的交點(diǎn)?2、是否可以根據(jù)e的變化來確定橢圓,雙曲線,拋物線的極坐標(biāo)方程,它有什么優(yōu)點(diǎn)?設(shè)計(jì)意圖 這是拓展探究的內(nèi)容,在學(xué)習(xí)了用極坐標(biāo)方程表示簡(jiǎn)單曲_____線的基礎(chǔ)上,加以深化_____________的新知識(shí).類比創(chuàng)新1、如何在球坐標(biāo)中確定球面與已知平面的交集?2、如何在球坐標(biāo)中用兩平面相交來確定其交線的球坐標(biāo)方程?設(shè)計(jì)意圖 利用類比法,簡(jiǎn)化了對(duì)難理解和想象的幾何知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu).從思考的角度和出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行類比創(chuàng)新.________________________

3.2.4 空間“柱坐標(biāo)系”與“球坐標(biāo)系”類比的簡(jiǎn)介

_____空_______________________________間柱坐標(biāo)系空間球坐標(biāo)系___________________共1、都是描述空間一點(diǎn)的位置;2、都是確定了極點(diǎn)與極軸后,通過距離和角度,用有序?qū)崝?shù)對(duì)來刻畫點(diǎn)的位置;_____性3、都是空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)值一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.________________________________________________________________________________________________________________1、實(shí)際意義_能簡(jiǎn)易地確定體育場(chǎng)看臺(tái)上的______點(diǎn)方便確定航天器的準(zhǔn)確位置______________________________________差2、幾何含義___________________________

異點(diǎn)的坐標(biāo) (ρ,θ,z)可以看作是:在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,增加垂直于此平面的O Z軸,可得空間柱坐標(biāo)系.要注意各坐標(biāo)分量的取值范圍:_____ρ≥0,0≤θ＜π__________________________________________________,z∈R.點(diǎn)的坐標(biāo)(r,φ,θ)分別對(duì)應(yīng)于:r表示“矢徑”,φ表示“緯度”,θ表示“經(jīng)度”.要注意各坐標(biāo)分量的取值范圍:r≥0,0≤φ≤π,0≤θ＜2 π.應(yīng) 用思考:正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1,建立如圖所示的坐標(biāo)系,寫出它的各頂點(diǎn)的球坐標(biāo)以及柱坐標(biāo).

上述實(shí)例以“學(xué)案”為載體,以“類比”為方法,進(jìn)行導(dǎo)向式探究,使學(xué)生通過預(yù)先設(shè)定的路徑,結(jié)合課本的知識(shí),從理解思考和動(dòng)手操作上體會(huì)類比法的具體應(yīng)用價(jià)值,滿足高中生自我意識(shí)發(fā)展與自我價(jià)值的體現(xiàn),逐步培養(yǎng)學(xué)生與教材“直接對(duì)話”的能力以及發(fā)散思維的能力.

由于類比方法屬于合情推理范疇,具有或然特性.因此,運(yùn)用類比方法所解決的問題缺乏可靠性.其可靠程度取決于兩事物的相似屬性的多與少以及他們之間的相關(guān)程度.但是,類比法的“似真性”可以幫助我們發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的概念定義、規(guī)律、解題方法都有許多相關(guān)、平行的關(guān)系,我們將其有機(jī)地聯(lián)系在一起進(jìn)行比較教學(xué),有助于學(xué)生掌握知識(shí)的整體性,發(fā)現(xiàn)和探究新問題.