構(gòu)建數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的幾個(gè)圖式*—以公式教學(xué)為例

廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800) 董大新

圖式理論是一種關(guān)于人的知識(shí)是怎樣表征出來(lái),以及關(guān)于知識(shí)的表征如何以特有的方式、有利于知識(shí)的應(yīng)用的理論;按瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰的觀念,圖式是一種個(gè)體獲得的結(jié)構(gòu),聯(lián)結(jié)在經(jīng)驗(yàn)與概念之間,對(duì)外界刺激的信息有篩選、整合的作用,從而對(duì)認(rèn)知活動(dòng)有較強(qiáng)的影響;因此,若能在數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)中構(gòu)建一些科學(xué)有效的教學(xué)圖式,教師備課時(shí)就會(huì)依據(jù)圖式這種上位觀念而不會(huì)僅憑經(jīng)驗(yàn),面對(duì)眾多的備課資源和課件時(shí)就知道篩選、整合,這必將對(duì)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)產(chǎn)生積極影響,提高教師的備課水平及備課效率.

數(shù)學(xué)知識(shí)大多數(shù)為概念、法則、公式、定理等,按皮連生教授所著《學(xué)與教的心理學(xué)》的觀點(diǎn),這些內(nèi)容都是程序性知識(shí),而程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)可分為關(guān)鍵的三個(gè)階段:習(xí)得、轉(zhuǎn)化、遷移,在這三個(gè)環(huán)節(jié)中形成教學(xué)參考的圖式是非常有必要的,可以讓這三個(gè)階段的教學(xué)更有效果,真的讓學(xué)生習(xí)得新知、轉(zhuǎn)化為技能、遷移到問(wèn)題解決,在每個(gè)環(huán)節(jié)上抓住其難點(diǎn),揭示其規(guī)律,直觀其做法.下面通過(guò)三角函數(shù)的合一變換公式教學(xué)談?wù)劻?xí)得、轉(zhuǎn)化、遷移三個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)圖式的建構(gòu).

一、習(xí)得環(huán)節(jié)的圖式

數(shù)學(xué)公式即數(shù)學(xué)規(guī)則,規(guī)則的習(xí)得主要解決對(duì)規(guī)則的理解問(wèn)題,往往是通過(guò)例規(guī)法獲得,所謂例規(guī)法簡(jiǎn)單講就是從特例組分析概括出共同特征,得到規(guī)則;在這一過(guò)程中,要在特例里抓住其內(nèi)涵的本質(zhì)要求,才能過(guò)渡到一般情境下適應(yīng)的結(jié)論;在設(shè)置特例組時(shí)要讓特例的特殊性漸漸減弱,在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)凸顯特例共性的數(shù)學(xué)意義的理解,才能過(guò)渡到一般性問(wèn)題的解決.教學(xué)圖式為:條件漸弱的特例問(wèn)題組——聚焦本質(zhì)的特例組解決,一般問(wèn)題——一般解決,且兩類(lèi)問(wèn)題的解決本質(zhì)是相同的.第一步的解決會(huì)容易想當(dāng)然的得到,如不深究原因,不想清楚其數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯意義,第二步的結(jié)果就會(huì)很生硬,這會(huì)讓學(xué)生理解新知留下隱患.

例2將轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)式.

二、轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)的圖式

這一階段主要解決規(guī)則如何由陳述性形式轉(zhuǎn)化為程序性形式,要明確運(yùn)用規(guī)則辦事的程序與步驟,并在典型情境中嘗試運(yùn)用.因?yàn)樾聠?wèn)題情境給出的三角式比較復(fù)雜,要對(duì)此進(jìn)行合一變換剛開(kāi)始是不易的,所以如何使對(duì)外辦事的能力更強(qiáng),就必須把規(guī)則的陳述性形式轉(zhuǎn)化為程序性形式,此轉(zhuǎn)換要通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)達(dá)成,如何才能把變式設(shè)計(jì)好,使得規(guī)則的轉(zhuǎn)化比較順利.一個(gè)教學(xué)圖式是:先概括規(guī)則中的學(xué)科特征(本文為角名形),再明確這些特征的改變可以通過(guò)哪些已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)達(dá)成,然后思考當(dāng)有多個(gè)特征需要變化時(shí)應(yīng)按照怎樣的順序(角名形)進(jìn)行.最后選擇各類(lèi)典型習(xí)題遞度訓(xùn)練,從而讓學(xué)生形成解決此類(lèi)問(wèn)題的程序與步驟.

例4將轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù).

分析目標(biāo)式有4次、2次,角同,應(yīng)利用平方差公式及二倍角公式等先降次

變形經(jīng)驗(yàn)變形中通常是考慮先降次,再化角,化簡(jiǎn)中往往會(huì)出現(xiàn)形為Acos2x+Bsin2x+Csinxcosx可合一的典型結(jié)構(gòu).

三、遷移環(huán)節(jié)的圖式

主要是在新的情境中靈活運(yùn)用習(xí)得的技能去解決綜合性問(wèn)題.在此階段的教學(xué)中可以參考的圖式為:首先要讓學(xué)生理解剛習(xí)得的知識(shí)有什么功能,隱含什么樣的學(xué)科思想;其次抓住規(guī)則的功能與設(shè)問(wèn)的聯(lián)系,從而明確解題方向,發(fā)生近遷移;解題的靈活性經(jīng)常是不受限于慣性思維,能從規(guī)則的本質(zhì)和學(xué)習(xí)過(guò)程中反映的學(xué)科思想理念層次上思考,創(chuàng)新性地解決問(wèn)題,發(fā)生遠(yuǎn)遷移.

例6(2015高考福建,理19改編)已知關(guān)于x的方程2sinx+cosx=m在[0,2p)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a,b.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)要求a,b兩角差的余弦,若直接代入方程2sinx+cosx=m,較難發(fā)現(xiàn)a,b兩角的關(guān)系,若合一變換為一個(gè)函數(shù)與y=m相交兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)正弦圖像的對(duì)稱性,易得a,b的關(guān)系,從而問(wèn)題易解:因?yàn)棣?β是方程在區(qū)間[0,2p)內(nèi)有兩個(gè)不同的解,所以當(dāng)當(dāng)所以cos(a-b)=-cos2(b+j)=2sin2(b+j)-1=

例7(2016高考浙江理數(shù)改編)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,求:

(1)f(x)的值域;

(2)f(x)的最小正周期.

分析(1)按慣性思維用合一變換公式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù),不符合合一變型的條件,此路不通;反思,合一變換的數(shù)學(xué)思想是化歸為一個(gè)已知的函數(shù),故可用換元法化歸為一個(gè)二次函數(shù),答案略.