例談一題多解,多解歸一

廣東省廣州市南海中學(xué)(510170) 沈鋼

在教學(xué)任務(wù)重,數(shù)學(xué)課堂的常見教學(xué)模式是講練結(jié)合,講公式定理,講例題,練習(xí),再練習(xí)的教學(xué)方式,課堂容量大,課堂效果顯著,但是課后學(xué)生掌握情況非常不好.不能很好的理解和歸納總結(jié),沒(méi)有時(shí)間思考問(wèn)題的本質(zhì).因此學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)也就不穩(wěn)定,經(jīng)過(guò)多次的教研活動(dòng),聽取了好多有經(jīng)驗(yàn)的一線教師的講座,有很多是講變式教學(xué),創(chuàng)新教學(xué),以及講題時(shí)的一題多解,歸納出多解歸一的本質(zhì)教學(xué)方式.下面我談?wù)勎以诮虒W(xué)中運(yùn)用“一題多解”的一些體會(huì).

一、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維的廣闊性

例1(廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)f(x)=x4=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4,求a3的值.

解法一平移變換

因?yàn)閒(x)=x4=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4①,將f(x)向左平移一個(gè)單位,所以f(x+1)=(x+1)4=a0-a1x+a2x2-a3x3+a4x4②.在第②式中,x3的系數(shù)為-a3,而(x+1)4的x3的系數(shù)為C14=4,故-a3=4即a3=-4.

點(diǎn)評(píng)此解法通過(guò)函數(shù)圖形的平移,將右邊巧妙地將1-x轉(zhuǎn)化為x,由煩到簡(jiǎn).同時(shí)將左邊轉(zhuǎn)為(1+x)4成為二項(xiàng)式定理的常見形式.此解法,培養(yǎng)了學(xué)生從函數(shù)平移的角度思考,更加理解函數(shù)平移后函數(shù)值的不變,以及二項(xiàng)式定理中系數(shù)得概念,加深理解了二項(xiàng)式定理.

解法二構(gòu)造條件

f(x)=x4=(-x)4=(1-x-1)4=[(1-x)-1]4,利用二項(xiàng)式定理展開,即求a3是 (1-x)3的系數(shù),即C34(-1)1=-4,所以a3=-4.

思路總結(jié)由于題目中把(1-x)看成一個(gè)整體,于是就拼湊出一個(gè)新的二項(xiàng)式(a+b)4,使其中b=1-x,那么展開式形如下列形式,與題目已知條件符合.a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4.

解法三由條件構(gòu)造新思路

f(x)=x4=[1-(1-x)]4,利用二項(xiàng)式定理展開,即求a3(1-x)3=C34[-(1-x)]3=-4(1-x)3,所以a3=-4.

點(diǎn)評(píng)此解法與解法二幾乎相同,只是在變形時(shí)負(fù)號(hào)的處理不一樣.

解法四換元代換

令1-x=t,則x=1-t,所以f(x)=x4=(1-t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4.要求a3即求t3的系數(shù):C34(-t)3=-4t3,所以a3=-4.

點(diǎn)評(píng)解法四與解法二,三本質(zhì)都是一樣的,都是拼湊出題目條件(1-x)的形式.從題目已知條件整體看待的思想.拓闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生從不同角度去思考問(wèn)題.以上四種解法其實(shí)都是一個(gè)知識(shí)點(diǎn),就是利用二項(xiàng)式定理展開式系數(shù)的性質(zhì).雖然是一題多解,實(shí)際是多解歸一,即都是利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì).但是以上解法是從不同角度變形后再利用二項(xiàng)式定理,加深了學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理如何靈活展開運(yùn)用.

解法五利用求導(dǎo)函數(shù)

f′(x)=4x3=-a1-2a2(1-x)-3a3(1-x)2-4a4(1-x)3,f′′(x)=12x2=2a2+6a3(1-x)+12a4(1-x)2,f′′′(x)=24x=-6a3-24a4(1-x),f′′′(1)=24=-6a3-24a4(1-1)=-6a3,所以a4=-4.

點(diǎn)評(píng)從函數(shù)的調(diào)度出發(fā),右邊f(xié)(1)=a0,求導(dǎo)一次后帶入x=1的值右邊等于-a1,依次繼續(xù)求導(dǎo),再代入x=1依次可求出a2,a3,a4的值.這里不需要引入多階導(dǎo)數(shù),讓學(xué)生理解求一次導(dǎo)f(x)就會(huì)降冪一次,一元三次函數(shù)是高中常見的利用導(dǎo)數(shù)求解的函數(shù)壓軸題,因?yàn)橐辉吻髮?dǎo)后降冪為一元二次函數(shù),而一元二次函數(shù)是初高中常見的基本初等函數(shù).從而加深學(xué)生對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系的理解.

通過(guò)上面例題的幾種解法,學(xué)生不但清晰的理解了二項(xiàng)式定理展開式的運(yùn)用,而且也會(huì)從函數(shù)的角度去思考問(wèn)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和解題技巧,拓寬了學(xué)生思維的廣闊性,加深對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系,因此更好的理解知識(shí).

為了讓學(xué)生更好的理解和掌握此題的解題方法和突破本題的關(guān)鍵點(diǎn),下面給出一組變式題.

點(diǎn)評(píng)充分利用了等差數(shù)列任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系,把a(bǔ)9和a11都轉(zhuǎn)為與a8的聯(lián)系.

點(diǎn)評(píng)利用兩次性質(zhì)巧妙轉(zhuǎn)化.培養(yǎng)了學(xué)生從更高角度去審題,組合整體看待的思維方式.

點(diǎn)評(píng)此性質(zhì)教科書沒(méi)有要求,但是通過(guò)這題的利用推廣性質(zhì),開闊了學(xué)生的視野,激發(fā)了學(xué)生探索新規(guī)律的欲望,這個(gè)性質(zhì)是否可以拓展到4個(gè),5個(gè),n個(gè)呢?讓學(xué)生養(yǎng)成了勤于思考,勇于探索新知,大膽去猜想嘗試.提高了學(xué)生解決問(wèn)題的思維能力.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于選擇填空題是一種不錯(cuò)的解題技巧.大膽利用特殊值或特殊情況去解決不需要解題過(guò)程的題型.

教學(xué)實(shí)踐證明:一題多解對(duì)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、引起多向思維都是十分有益的,也是從根本上提高學(xué)生業(yè)績(jī)行之有效的方法.