inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程的解集

楊 雪， 吳 莉， 王學(xué)平*

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066；2.阿壩師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川汶川623002）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

Fuzzy關(guān)系方程是由法國(guó)學(xué)者 Sanchez［1］于1976年率先研究的.隨后，眾多的研究工作者投入到這個(gè)研究領(lǐng)域，詳細(xì)研究工作可參考文獻(xiàn)［2-12］.1985 年，Di Nola等［13-14］發(fā)現(xiàn)用inf-α 型合成算子去進(jìn)行Fuzzy關(guān)系的計(jì)算或推理規(guī)則的合成效果會(huì)更好，并提出了inf-α合成Fuzzy關(guān)系方程的研究.之后，李裕梅等［15］在完全并既約元的條件下研究了inf-α合成Fuzzy關(guān)系方程AαX＝b有解的條件.李裕梅等［15-18］給出了完備 Brouwer格 L上inf-α合成有限模糊關(guān)系方程RαX＝A有解的充要條件，并刻畫(huà)了解集.2005年，Yang等［19］研究了［0，1］格上模糊關(guān)系R的 α分解問(wèn)題，給出了使AαB＝R成立的所有（A，B）構(gòu)成的集合，并由此給出了可α分解的矩陣收斂指數(shù)的算法.向太陽(yáng)等［20-21］推廣了模糊關(guān)系R的α分解問(wèn)題，研究了模糊關(guān)系R的αR分解問(wèn)題，給出了使AαRB＝R成立的所有（A，B）構(gòu)成的集合，給出了可αR分解的矩陣收斂指數(shù)的算法.本文對(duì)定義在［0，1］上infαR合成Fuzzy關(guān)系方程RαRX＝A的解集問(wèn)題進(jìn)行了討論.首先對(duì)方程 RαRX ＝a（其中，a∈［0，1］）進(jìn)行了討論，構(gòu)造出了RαRX＝a的所有極大解并確定了整個(gè)解集，進(jìn)一步構(gòu)造出了方程RαRX＝A的整個(gè)解集.

定義 1.1［1］稱(chēng)映射 A：X→［0，1］為 X 上的Fuzzy集，記 F（X）＝｛A｜A：X→［0，1］｝.稱(chēng)映射 R：X×Y→［0，1］為X ×Y上的 Fuzzy關(guān)系，記 F（X ×Y）＝ ｛R｜R：X ×Y→［0，1］｝.

設(shè) R∈F（X ×Y），令MR＝max｛R（x，y）｜x∈X，y∈Y｝.

定義 1.2 設(shè) R∈F（X ×Y），a，b∈［0，1］，定義二元算子 αR：［0，1］×［0，1］→［0，1］滿(mǎn)足

由定義1.2有下面的定理成立.

定理 1.1 設(shè) R∈F（X ×Y），則：

1）?a，c∈［0，1］，b∈［0，MR］，如果 b≤c，則aαRb≤aαRc；

2）?a∈［0，1］，b∈［0，MR］，b≤aαR（a∧b）；

3）?a，c∈［0，1］，b∈［0，MR］，aαR（b∧c）＝（aαRb）∧（aαRc）；

4）?a，b∈［0，1］，a∧（aαRb）≤b；

5）?a，c∈［0，1］，b∈［0，MR］，a∧b≤c當(dāng)且僅當(dāng) b≤aαRc.

證明 1）如果 a≤b≤c，則 aαRb＝MR，aαRc＝MR，所以 aαRb≤aαRc；如果 b≤c＜ a，則 aαRb＝ b，aαRc＝ c，所以 aαRb≤aαRc；如果 b ＜ a≤c，則aαRb＝b，aαRc＝MR，由 b≤MR知，aαRb≤aαRc.

2）對(duì)?a∈［0，1］，b∈［0，MR］，如果 a≤b，則aαR（a∧b）＝aαRa ＝ MR≥b，即 b≤aαR（a∧b）；如果a＞b，則aαR（a∧b）＝aαRb＝b成立.

3）由1）即知.

4）對(duì)?a，b∈［0，1］，如果 a≤b，則 aαRb ＝MR，所以 a∧（aαRb）＝a∧MR≤b成立；如果 a ＞b，則 aαRb＝b，所以 a∧（aαRb）＝a∧b＝b≤b成立.

5）充分性 設(shè) a∧b≤c，如果 a≤a∧c，則 a≤c，那么由 b∈［0，MR］可知 b≤MR＝ aαRc.如果 a ＞a∧c，則 b≤c＜a.所以 b≤aαRc＝c成立.

必要性 如果b≤aαRc，由定義1.2 即知a∧b≤c.

注 1.1 一般情況，定理 1.1 的 1）、2）、3）和5）中條件 b∈［0，MR］不能去掉.

例 1.1 設(shè) R∈F（X ×Y），MR＝0.7，則：

1）設(shè) a ＝0.85，b＝0.8，c＝0.9，則aαRb＝0.8，aαRc＝0.7，因此 aαRb＞aαRc；

2）設(shè)a ＝0.5，b＝0.9，則 aαR（a∧b）＝aαRa＝MR＜b；

3）設(shè) a ＝0.9，b＝0.8，c＝1，則 aαR（b∧c）＝aαRb＝0.8，而（aαRb）∧（aαRc）＝ （0.9αR0.8）∧（0.9αR1）＝0.8∧0.7 ＝0.7；

4）設(shè) a＝0.6，b＝0.8，c＝1，則 a∧b≤c成立，但 b＞aαRc.

定義 1.3 設(shè) R ＝ （rij）I×J，A ＝ （ai）i∈I，X ＝（xj）j∈J，稱(chēng)

為定義在［0，1］上的inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程，且 rij，ai∈［0，1］.xj∈［0，1］是未知的，I與 J 為指標(biāo)集.如果X使RαRX＝A成立，則稱(chēng)X為inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程的解，記為 X1＝｛X｜RαRX＝A｝，稱(chēng)X1為方程RαRX＝A的解集.

顯然，方程（1）的一個(gè)特殊形式為

記 X2＝ ｛X｜∧j∈J（rjαRxj）＝ a｝.

命題 1.1［14］如果 X1，X2∈X1且 X1≤X≤X2，則 X∈X1.

證明 僅證 X1，X2∈X1的情況.設(shè) X1＝）j∈J，X＝ （xj）j∈J，X2＝）j∈J.下面分3種情況討論.

1）如果任意 j∈J，xj∈［0，MR］，則由 X1，X2∈X1，X1≤X≤X2及定理 1.1 的 1）知，對(duì)任意 i∈I，

定義 1.4［22］設(shè) P 為一偏序集，a∈P，若不存在x∈P使得x＞a，則稱(chēng)a為P的極大元.

定義1.5 稱(chēng)所討論的inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程的解集中的極大元（如果存在）為所討論的inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程的極大解.

注1.2 設(shè)X*∈X1（X1為所討論的 inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程的解集），則由定義1.5知，X*是X1的極大元當(dāng)且僅當(dāng)任取X∈X1，如果X≥X*，則 X＝X*.

本文所討論的Fuzzy集和Fuzzy關(guān)系均定義在［0，1］上.眾所周知，F(xiàn)uzzy關(guān)系可用 Fuzzy矩陣來(lái)表示，故對(duì)于給定的R∈F（X×Y），以下R既表示X×Y上的一個(gè)Fuzzy關(guān)系，也表示X×Y上的一個(gè)Fuzzy矩陣.

2 方程（1）和（2）相互間的關(guān)系

定理 2.1 設(shè) R ＝ （rj）j∈J，

則X≠?當(dāng)且僅當(dāng)a≤MR.

必要性 如果 a≤MR，設(shè) X ＝ （MR）j∈J，則 X∈X，即X≠?.

顯然，X2?X.設(shè) R ＝ （rj）j∈J，a∈［0，1］，定義R⊙a(bǔ) ＝ （rj∧a）j∈J.

定理 2.2 設(shè) R ＝ （rj）j∈J，則 X2≠?當(dāng)且僅當(dāng)X*2＝R⊙a(bǔ)∈X2.進(jìn)一步，X*2＝R⊙a(bǔ)是 X2的最小元.

證明 1）首先證明X≠?時(shí)，X*2∈X，且X*2是X的最小元.

如果X≠?，則由定理2.1知a≤MR，那么對(duì)?j∈J，如果 rj≤a，則rjαR（rj∧a）＝ MR，即 rjαR（rj∧a）≥a；如果 rj＞ a，則 rjαR（rj∧a）＝ rjαRa ＝ a.所以

即X*2∈X.又設(shè) X ＝ （xj）∈X，則 RαRX≥a，即（rjαRxj）≥a，那么對(duì)任意 j∈J，rjαRxj≥a.因?yàn)閍≤MR，由定理 1.1 的 5）知 xj≥（rj∧a），即 X≥X*2.由X的任意性知X*2是X的最小元.

2）再證X2≠?當(dāng)且僅當(dāng)X*2＝R⊙a(bǔ)∈X2.

充分性 如果X2≠?，則X≠?.設(shè)X＝（xj）∈X2?X，則 X∈X，那么由 1）知 X≥X*2.又由定理 2.1知 a≤MR，因此?j∈J，rj∧a≤MR.所以由定理 1.1 的 1）知 a ＝RαRX≥RαRX*2≥a，即RαRX*2＝a，所以 X*2＝R⊙a(bǔ)∈X2.顯然，X*2＝R⊙a(bǔ)是X2的最小元.

必要性 顯然成立.

由定理2.2可知下面命題成立.

命題2.1 rαRx＝a有解當(dāng)且僅當(dāng)r∧a是它的解，且r∧a是rαRx＝a的最小解.

記 Ri＝ （rij）j∈J為 R ＝ （rij）I×J的第 i行向量，Xi2＝ ｛X｜RiαRX ＝ ai｝.

定理 2.3 1）X1≠?當(dāng)且僅當(dāng)Xi2≠?，且X1＝Xi2.

2）X1≠?當(dāng)且僅當(dāng) X*1＝（Ri⊙a(bǔ)i）是 X1的解.進(jìn)一步，任取 X∈X1，X≥X*1.

證明 1）顯然.

2）設(shè) X ＝ （xj）j∈J∈X1，于是對(duì)任意 i∈I，（rijαRxj）＝ ai.于是由定理 2.1 知 ai≤MR.又由定理 2.2 知，X≥Ri⊙a(bǔ)i，因此 X≥（Ri⊙a(bǔ)i）＝X*1.因?yàn)閷?duì)任意 i∈I，j∈J，（rij∧ai）≥（rij∧ai），所以由定理 1.1 的 1）與 2）知，任意 i∈I，j∈J，rijαR［（rij∧ai）］≥ rijαR（rij∧ai）≥ ai.又對(duì)任意j∈J，

所以由定理1.1 的1）知，對(duì)任意 j∈J，

3 方程（2）有解的充要條件與極大解問(wèn)題

定理 3.1 X2≠?當(dāng)且僅當(dāng)G（a）≠?.

證明 充分性 如果X2≠?，設(shè)X＝ （xj）j∈m∈X2，于是（rjαRxj）＝ a，因此存在 j∈m使a＝rjαRxj. 由 命 題 2.1 及 定 理 1.1 知 a ＝rjαR（rj∧a）＝rjαRa，即 j∈G（a），所以G（a）≠?.

注 3.1 當(dāng) a＝MR時(shí)，易見(jiàn) G（a）＝.令X*＝（1，1，…，1）T，則 X*∈X2.再由命題1.1與定理2.2知，此時(shí) X2＝［（R⊙a(bǔ)）T，X*］.

以下假設(shè)方程（2）中a≠M(fèi)R.

定理 3.2 如果 X2≠?，?j∈G（a），定義為：?k

證明 如果X2≠?，由定理3.1的證明知，∈X2.接下來(lái)只須證在X2中的極大性.假設(shè)X∈X2且X≥，則當(dāng) i≠j時(shí)，顯然 xi＝＝1；當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，由X≥知 xj≥a.又因?yàn)?X∈X2，所以

a ＝ RαRX ＝ （r1αR1）∧… ∧（rjαRxj）∧… ∧

（rmαR1）＝ MR∧（rjαRxj）∧MR＝ rjαRxj，即 a ＝rjαRxj.因?yàn)?a≠M(fèi)R，所以由定義 1.2 知 xj＝a，即 X ＝，由注1.2 知是X2中的極大元.

定理3.3 如果X2≠?，則X2的每一個(gè)極大元都具有（3）式的形式.進(jìn)一步，X2有｜G（a）｜個(gè)極大元.

定理3.4 如果X2≠?，則任意X∈X2，存在X2中的極大元，使≥X.證明 設(shè)X＝，于是 a＝RαRX ＝），則存在使得 a ＝ rjαRxj，由定理3.2的證明知 xj＝ a.設(shè)＝ （1，…，1，1，…，1）T，則X.又由定理3.2 知，是X2的極大元.

由定理2.2、定理3.3、定理 3.4 及命題 1.1 易證下一定理.

定理3.5 如果X2≠?，則

例 3.1 已知 R ＝ （0.6，0.8，0.7），a ＝0.63，求解inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程RαRX＝a.

由定理3.5知方程RαRX＝a的解集為

4 方程（1）的解集

下面將證明方程（1）的每個(gè)解都有大于或等于它的極大解，并給出方程（1）的解集構(gòu)造.

定理 4.1 如果 X1≠?，則 M ＝ ｛X｜X＝∈Mi是X1的一非空有限子集，且X是M的極大元當(dāng)且僅當(dāng)X是X1的極大元.

所以M?X1.又因?yàn)镸關(guān)于Fuzzy包含“≤”是一個(gè)有限偏序集，所以M有極大元.

設(shè)X*是M中的極大元且存在X∈X1使X≥X*.于是由定理2.3知任取，X∈Xi2.所以由定理3.4 知，任取，Xi2中有極大元使≥X≥，所以∈M，由X*在M中的極大性及≥X≥X*知X＝X*.因此X*也是X的極1大元.

反過(guò)來(lái)，設(shè)X*是X1的極大元.因?yàn)镸?X1，要證X*也是M中的極大元，則只需證X*∈M即可.事實(shí)上，由定理2.3的1）知，任取，X*∈Xi2.所以由定理3.4 知任取，存在 Xi2的極大元 Xi使 Xi≥X*≥X*1，所以≥X*，且M.因此∈X1.由 X*在 X1的極大性知，＝X*，所以 X*∈M.

定理4.2 如果X1≠?，則任取X∈X1，存在X1的極大元X*使X*≥X.

證明 設(shè) X∈X1，由定理2.3 的1）知，任取i∈，X∈Xi2，因此由定理 3.4 知，任取，存在∈M使≥X.設(shè) M*＝，則M*∈M.i

進(jìn)一步，由定理4.1知，一定存在M中的極大元M使M≥M*，又因?yàn)镸*≥X，因此存在X1的極大元M使M≥X.

定理4.3 如果X1≠?，則

例 4.1 已知

求解inf-αR合成Fuzzy關(guān)系方程RαRX＝A.

解 易得

所以，由定理3.2知方程R1αRX＝a1的極大解為

故由定理4.3得