利用洛必達(dá)法則來處理高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題

木沙江·吐爾遜??

摘 要：文章通過洛必達(dá)法則分析函數(shù)的最大，最小值指出一種解決高中數(shù)學(xué)常見的恒成立問題

關(guān)鍵詞：洛必達(dá)法則；恒成立；微分

近幾年，隨著新課標(biāo)在全國(guó)的范圍內(nèi)的實(shí)施，無論高考題，還是各個(gè)區(qū)高考模擬，還是什么月考測(cè)試都在悄悄發(fā)生變化。尤其是有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問題會(huì)逐漸增加豐富起來。雖然高考考試沒有要求學(xué)生掌握，但是可以利用已有的知識(shí)和方法來解決有關(guān)背景的問題。函數(shù)圖像的凸凹性，導(dǎo)數(shù)中的拐點(diǎn)，洛必達(dá)法則……特別是利用洛必達(dá)法則來處理解答題中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題，即高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題的觀點(diǎn)尤其突出。恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的常見問題，在培養(yǎng)同學(xué)們的靈活性，創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，也是歷年高考題中的一個(gè)熱點(diǎn)，大多是在不等式中以已知自變量x的取值范圍，求另一個(gè)參數(shù)的取值范圍的形式出現(xiàn)。

例如2010年和2011年，2016年（文科）高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21題中的第2步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，用初等方法處理，分析難度大，變化技巧高。但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。

一、 洛必達(dá)法則

法則1 若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→afx=0 及l(fā)imx→agx=0；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

法則2 若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→afx=∞及l(fā)imx→agx=∞；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

二、 高考題處理

1. （2016年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ文科）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），（a∈R）

（1）當(dāng)a=4時(shí)求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）>0，求a的取值范圍；

原解：（1）當(dāng)a=4時(shí)f（x）=（x+1）lnx-4x+4，（a∈R），

f′（x）=lnx+1+1x-4，f′（1）=-2，f（1）=0，

∴切線方程為y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0

（2）：f（x）>0等價(jià)于：（x+1）lnx>a（x-1）；∵x∈（1，+∞）x-1>0

等價(jià)于（x+1）lnxx-1>a對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，等價(jià)于即令g（x）=（x+1）lnxx-1的最小值也應(yīng)該大于a，根據(jù)g（x）的單調(diào)性可以解出它的最小值，

則g′（x）=（x-1）lnx+1+1x-（x+1）lnx（x-1）2=-2lnx+x-1x（x-1）2，

這時(shí)我們需要-2lnx+x-1x和0的大小關(guān)系，令M（x）=-2lnx+x-1x

則M′（x）=-2x+1x2+1=（x-1）2x2>0即M（x）函數(shù)在1，+∞上單調(diào)遞增，

∴M（x）>M（1）=0，∴g′（x）>0即區(qū)間1，+∞上g（x）也是單調(diào)遞增，

可以說區(qū)間1，+∞上g（x）>g（1）≥a

根據(jù)洛必達(dá)法則limx→1g（x）=limx→1（x+1）lnxx-1=limx→1（x+1）lnx′（x-1）′

=limx→1lnx+1+1x1=2，故a≤2，綜上，知a的取值范圍為-∞，2。

2. （2010年全國(guó)新課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍

原解：（1）a=0時(shí)，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加

（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，均在f（x）≥0；

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥0等價(jià)于a≤ex-x-1x2

令gx=ex-x-1x2，（x>0）則g′（x）=xex-2ex+x+2x3，令hx=xex-2ex+x+2x>0，則h′x=xex-ex+1，h″x=xex>0，

知h′x在0，+∞上為增函數(shù)，h′x>h′0=0；知hx在0，+∞上為增函數(shù)，hx>h0=0；∴g′x>0，gx在0，+∞上為增函數(shù)。

由洛必達(dá)法則知，limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12，

故a≤12，綜上，知a的取值范圍為-∞，12。

3.（2011年全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)f（x）=alnxx+1+bx，曲線f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2在點(diǎn)f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2處的切線方程為f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2。

（Ⅰ）求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2、f′（x）=a（x+1x-lnx）（x+1）2-bx2的值；

（Ⅱ）如果當(dāng)f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，且f′（x）=ax+1x-lnx）（x+1）2-bx2時(shí)，f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2的取值范圍。

解：（Ⅰ）f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2

由于直線b=1，a2-b=1的斜率為b=1，a2-b=1，且過點(diǎn)b=1，a2-b=1，故b=1，a2-b=1即

b=1，a2-b=1解得x>0，x≠1，x>0，x≠1。

（Ⅱ）由題設(shè)可得，當(dāng)x>0，x≠1時(shí)，k<2xlnx1-x2+1恒成立。

令g（x）=2xlnx1-x2+1（x>0，x≠1），則g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22，

再令hx=x2+1lnx-x2+1（x>0，x≠1），則h′x=2xlnx+1x-x，h″x=2lnx+1-1x2，易知hx=2x+2xx4=2x+2x3>0故h″x在0，+∞上為增函數(shù)，且h″1=0；故當(dāng)h″x<0時(shí)，h″x<0，當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，h″x>0；

∴h′x在0，1上為減函數(shù)，在1，+∞上為增函數(shù)；故h′x>h′1=0

∴hx在0，+∞上為增函數(shù)，∵h(yuǎn)1=0

∴當(dāng)hx<0時(shí)，hx<0，當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，hx>0

∴當(dāng)g′x<0時(shí)，g′x<0，當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，g′x>0

∴gx在0，1上為減函數(shù)，在1，+∞上為增函數(shù)

∵由洛必達(dá)法則知limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0

故k≤0，即k的取值范圍為-∞，0

規(guī)律總結(jié)：對(duì)恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，雖然有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值可以一次求導(dǎo)數(shù)就會(huì)求出拐點(diǎn)，既可以求出由函數(shù)的單調(diào)性來求最值的，但是有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值不能一次求導(dǎo)數(shù)就可以判斷函數(shù)的單調(diào)性或者導(dǎo)數(shù)等于0的拐點(diǎn)，這時(shí)通過繼續(xù)求導(dǎo)（至可以判斷單調(diào)性和最值），然后通過最后最簡(jiǎn)單導(dǎo)函數(shù)的最值來判斷它原函數(shù)的單調(diào)性，就這么返回，最后判斷跟所求的參數(shù)分離出來的函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求使不等式滿足的最值，如果最值點(diǎn)函數(shù)無意義的話就利用洛必達(dá)法則可以較好地處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳良森，程其蘘，龐學(xué)誠(chéng).數(shù)學(xué)分析教程[M].高等教育出版社，2004.

作者簡(jiǎn)介：

木沙江·吐爾遜，中學(xué)二級(jí)教師，新疆維吾爾自治區(qū)克孜勒蘇柯爾克孜自治州，阿圖什市第一中學(xué)。