用古典概型解釋“生日悖論”

楊情宇

一年有365天（假設(shè)不是閏年），如果遇到同一天生日的人，人們會(huì)不禁感慨，真是巧合，有緣分??！然而有名的生日悖論指出，如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%。從生日悖論的內(nèi)容可以看出，兩個(gè)人生日相同還是很容易發(fā)生的。但是從直觀來看，兩個(gè)人的生日相同是比較稀少的事情。并且一般來說，可能認(rèn)為人數(shù)起碼得達(dá)到183，因?yàn)?82.5是365的一半，至少有兩個(gè)人的生日相同的概率才能大于50%。下面我擬用學(xué)過的古典概型的知識(shí)來解釋這個(gè)矛盾的現(xiàn)象。先考慮房間里剛好有23個(gè)人的情況。

假設(shè)每個(gè)人的生日都是獨(dú)立的，是365天中的某一天，因此23個(gè)人的生日情況的基本事件數(shù)為36523。雖然36523是個(gè)很大的數(shù)，但是仍然是個(gè)有限的數(shù)，因此符合古典概型要求的只有有限個(gè)不同基本事件的條件。并且23個(gè)人的生日情況是這36523種情況里的任何一種，并且可能性是相同的。因此符合古典概型每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的條件。因?yàn)椴皇情c年，因此每個(gè)人的生日是且只是一年365天中的一天?？梢娺@個(gè)問題符合古典概型的條件。我們可以通過古典概型的求解方法來計(jì)算23人中至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率。

設(shè)事件A為：23人中至少有兩個(gè)人的生日相同。在計(jì)算事件A包含的基本事件數(shù)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)因?yàn)榍闆r眾多，計(jì)算過程非常復(fù)雜。正難則反的思想是求解概率題時(shí)經(jīng)常使用的技巧。因此我考慮計(jì)算A的對(duì)立事件的概率。

設(shè)事件B為： 23個(gè)人生日都不相同這一事件。通過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)。事件A和B為對(duì)立事件。因此有P（A）=1-P（B）。這樣就可以通過計(jì)算P（B）來計(jì)算P（A）。

下面計(jì)算事件B包含的基本事件數(shù)。第一個(gè)人的生日有365種可能，第二個(gè)人的生日不能和第一個(gè)人相同，因此有364種可能。以此類推，第n個(gè)人的生日有365-n+1種可能。因此23個(gè)人生日都不相同的這一事件包含的基本事件數(shù)為365×364×…×（365-23+1）=365×364×…×343。

由古典概型的概率計(jì)算公式，可以得到事件B的概率：

從而我們可以得到事件A，也即23人中至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率為1-0.4927=0.5073。這就證明了23人中至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率大于50%這一結(jié)論。因此直觀的想法要使房間中至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%，房間至少需要183人的想法是錯(cuò)誤的。

也可以用類似的方法計(jì)算出房間有183個(gè)人時(shí)，至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率。具體計(jì)算過程如下：

因此如果房間中有183個(gè)人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率接近于1。

我們進(jìn)一步可以算得房間中有30、40和50個(gè)人時(shí)，至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率分別為：

利用相同的思路可以得到房間有n個(gè)人時(shí)至少有兩個(gè)人的生日相同的概率計(jì)算公式為：

以上的分析利用古典概型的知識(shí)計(jì)算出了給定人群中至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率。顯然，在一群人中，當(dāng)人數(shù)稍微多一些時(shí)，至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率是比較大的。這很好地解釋了生日悖論論述的結(jié)果。

我在查閱文獻(xiàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有文章也試圖解釋生日悖論，但是當(dāng)我發(fā)現(xiàn)可以直接利用古典概型計(jì)算出至少有兩個(gè)人的生日相同這一事件的概率時(shí)，生日悖論就可以得到非常清晰的解釋。同時(shí)，我們的計(jì)算結(jié)果也得出了一些非常有趣的結(jié)論， 從實(shí)際例子的分析，我也看出了概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)是非常有用的。

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