再談“錯(cuò)位相減法”*

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601)

刁海寶 時(shí)英雄

在高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中，求和是最常見的問題，也可以說是數(shù)列題的精髓問題，其中一些求和方法比如：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法等常用的方法需要老師在平時(shí)的教學(xué)中講授透徹，如什么時(shí)候用？怎么用？易錯(cuò)點(diǎn)在哪？而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中也要通過演練強(qiáng)化對(duì)方法的理解，使用的技巧等，這里筆者主要通過幾例針對(duì)“錯(cuò)位相減法”的求和方法談?wù)剶?shù)列的教學(xué)，拋磚引玉，以饗讀者.

1.使用錯(cuò)位相減法需注意的兩點(diǎn)

錯(cuò)位相減法主要是針對(duì)差比型數(shù)列的求和，差比型數(shù)列即為等差數(shù)列的項(xiàng)與等比數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘后構(gòu)成的一個(gè)新數(shù)列，這種類型的數(shù)列在平時(shí)的教學(xué)及高考中都經(jīng)常遇到，一般在解決此類問題時(shí)，將數(shù)列的前n項(xiàng)和寫成展開形式，然后兩邊同乘以等比數(shù)列的公比或者是公比的倒數(shù)，接著錯(cuò)開位置后相減再利用等比數(shù)列求和公式整理即可，錯(cuò)位相減法關(guān)鍵是兩點(diǎn)，一是位置一定要錯(cuò)開，二是后面等比數(shù)列求和化簡，這種方法簡單易上手，難點(diǎn)就是后面的化簡整理容易出錯(cuò).

例1 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解：(1)易得an=2n-1,n∈N*.

2.錯(cuò)位相減法的公式計(jì)算方法

對(duì)于差比型數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法將其一般化得到如下結(jié)論：

結(jié)論1[1]設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(an+b)qn-1(q≠1)則其前n項(xiàng)和Sn具有形式：

Sn=(An+B)qn+C，其中參數(shù)A,B,C滿足：A(q-1)=a,B(q-1)+A=b,C=-B.

3.錯(cuò)位相減法用途的推廣

例2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2·3n，求其前n項(xiàng)和Sn.

解：令Sn=12·31+22·32+32·33+…+n2·3n,3Sn=12·32+22·33+…+(n-1)2·3n+n2·3n+1,相減得-2Sn=1·31+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n-n2·3n+1(*)

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=f(n)qn(q≠0,q≠1)，其中f(n)=a0nm+a1nm-1+…+am-1n+am，a0,a1,…,am及m均為常數(shù)且m∈N*，求{an}的前n項(xiàng)和，可以結(jié)合二項(xiàng)式定理，通過m次錯(cuò)位相減將關(guān)于f(n)的多項(xiàng)式次數(shù)降次再轉(zhuǎn)化為下一個(gè)錯(cuò)位相減，最終使問題獲解，可見，錯(cuò)位相減法的實(shí)質(zhì)就是降次、降次再降次，轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化再轉(zhuǎn)化[2].

4.錯(cuò)位相減法的姊妹篇——錯(cuò)位相加法

解：Sn=a1+5a2+52a3+…+5n-1an(1),

5.結(jié)束語

錯(cuò)位相減法是一個(gè)非常常見的求和方法，但在平時(shí)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用這個(gè)求和方法時(shí)經(jīng)常算不出正確的答案，究其原因就是在使用時(shí)有的沒有錯(cuò)位，有的在乘以公比或公比的倒數(shù)時(shí)乘的位置不對(duì)，有的同學(xué)忘了最后一項(xiàng)是減號(hào)等等，所以在教學(xué)時(shí)一定要讓學(xué)生在解答時(shí)規(guī)范，按步驟來，理解什么時(shí)候用錯(cuò)位相減法，為什么可以這么做，本文將錯(cuò)位相減法加以類比、歸納，將其用途加以推廣，又給出一般性的結(jié)論來幫助學(xué)生得出正確的結(jié)果，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)，了解，理解的基礎(chǔ)上掌握此技能，并能將其延伸推廣，所以在平時(shí)的教學(xué)中教師不光要把基本的知識(shí)傳授給學(xué)生，如果自己能研究更深層次的話，高屋建瓴，對(duì)學(xué)生來說是大有裨益的.