巧用構(gòu)造法妙解高考填空題

南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (210097)

林 嫻

填空題是高考數(shù)學(xué)題中重要的一部分,有的題目若按照一般的解題思路常常難以得到解決,甚至無從下手,有時利用“構(gòu)造”這個巧妙的方法可能會有新的發(fā)現(xiàn).筆者對一部分時常遇到的以及能夠運用構(gòu)造法巧妙解決的高考填空題進(jìn)行反思與歸納,發(fā)現(xiàn)在一些求取值范圍、求最值以及向量等問題中能夠運用構(gòu)造法巧妙解題.通過這些反思?xì)w納,希望在高考填空題中運用這些方法能夠讓解題思路更加清晰.

常用的構(gòu)造法有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造幾何圖形、構(gòu)造公式與構(gòu)造方程等.以下結(jié)合一些典型的例子,來談?wù)剺?gòu)造法在一些題目中的具體運用.

一、巧構(gòu)函數(shù)，得心應(yīng)手

許多高考題中滲透著函數(shù)的思想,可通過尋找同構(gòu)式與聯(lián)想求導(dǎo)法則等方法來構(gòu)造特殊的函數(shù),從而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的問題,再利用函數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)來解決.

1.尋找同構(gòu)式

2.聯(lián)想求導(dǎo)法則

例2 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=0,xf′(x)-f(x)>0(x>0),不等式f(x)>0的解集為 .

二、巧構(gòu)圖形 數(shù)形結(jié)合

構(gòu)造幾何圖形也是構(gòu)造法中常用的方法之一.代數(shù)問題一般較抽象,難以入手,這時可利用數(shù)形結(jié)合的方法,根據(jù)題干條件構(gòu)造出一些幾何圖形等來解決代數(shù)的問題.

1.構(gòu)造直角三角形

圖1

2.構(gòu)造圓

圖2

分析:此題按常規(guī)做法可通過求導(dǎo)計算,求得最小值,從而算出a的值,但是這樣計算太過于繁瑣,可通過構(gòu)造圓的方法來巧妙解題.分母有理化得f(x)=

3.構(gòu)造橢圓

三、巧構(gòu)公式 左右逢源

有時題中的代數(shù)式可以通過配方、拼湊等方法,轉(zhuǎn)化成點與點、點與線或線與線的距離公式,從而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,解題也就更加輕松快捷.

四、巧構(gòu)方程 意外收獲

求解一些不等式問題,有時可能不知如何利用不等式的相關(guān)性質(zhì)求解最值.這時構(gòu)造方程就是一條新的路徑,構(gòu)造一元二次方程,再利用一元二次方程根的判別式即可求出.

五、結(jié)語

由上可見,解決高考數(shù)學(xué)填空題時可以利用構(gòu)造法達(dá)到巧妙解題的效果,從而將一些“無從下手”的題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題,從而使得解題更加得心應(yīng)手.但是數(shù)學(xué)解題并不總是有固定的模式,有時構(gòu)造出的“成品”的“優(yōu)”與“劣”會影響解題的結(jié)果,故應(yīng)根據(jù)實際情形進(jìn)行變通,找到更簡便、更快捷的解題方法.