巧用位置關(guān)系解決多元函數(shù)求范圍問題

浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學(xué) (315202)

丁林蓬

例1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1，2)內(nèi)，求3a+2b的范圍.

通常采用“線性規(guī)劃”的方式解決這一問題，過程如下：

解法1:依題意可得如下可行域，

筆者認(rèn)為借助直線與曲線位置關(guān)系這一觀點(diǎn)，可以對(duì)這一問題進(jìn)行這樣優(yōu)化的解答：

圖1

評(píng)析：解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵點(diǎn)是問題的轉(zhuǎn)化——面對(duì)新的問題，通過自己的思考將其轉(zhuǎn)化為某些已經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題.顯然，這兩種方法都是建立在轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上展開的.

除此之外，筆者認(rèn)為，解法2的“巧”體現(xiàn)在以下方面.

1.更加有效地避免“重復(fù)勞動(dòng)”，更加方便快捷

例2 (2015浙江高考文科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

(1)略；(2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

參考文獻(xiàn)[1]中，利用“線性規(guī)劃”手段給出了兩種解法，現(xiàn)呈現(xiàn)一種如下：

解法1[1]：f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，即函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，分有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)進(jìn)行討論：

評(píng)析：正如原作者的點(diǎn)評(píng)，這一解法容易入手，想法比較自然，列出式子之后可以畫出可行域，但是對(duì)作圖的要求較高.

筆者認(rèn)為，不僅如此，重復(fù)的繪制可行域，多次計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，復(fù)雜的多項(xiàng)式都是繁瑣所在.由此，筆者給出法2如下，

解法2:這一問題可以變形為-x2=ax+b，直線與二次函數(shù)所表示的拋物線分別在區(qū)間[-1,1]內(nèi)有交點(diǎn)(條件一).令g(x)=ax+b，根據(jù)0≤b-2a≤1，得0≤g(-2)≤1(條件二)，且有g(shù)(0)=b.由此，原問題轉(zhuǎn)換為：在條件一、二的前提下，計(jì)算g(0)的取值范圍.

圖2

評(píng)析：這一過程更加注重思維，一定程度上使得重復(fù)、繁瑣的可行域繪制過程與目標(biāo)函數(shù)的求解過程得到精簡(jiǎn)，學(xué)生能夠更好地觸碰問題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì).

事實(shí)上，為了避免重復(fù)的計(jì)算過程，許多命題專家也會(huì)回避不必要的討論，如在這一問題的條件下，2017浙江省高考數(shù)學(xué)模擬卷(考試院測(cè)試卷)，將條件強(qiáng)化為“在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)”，解法這里不再贅述.

2.更加廣泛的使用范圍，更直觀的視覺呈現(xiàn)

波利亞在《怎樣解題》表中提出了“弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和問題解決”4個(gè)思維流程.關(guān)于計(jì)劃的擬定這一過程，解題方法適用的范圍越廣，越容易優(yōu)先被選到.下面筆者談?wù)劷夥?相對(duì)于解法1更廣泛的使用范圍.

圖3

例3f(x)=2ax2+2bx(其中a,b∈R).若存在x0∈(0,t)對(duì)任意不為0的a,b均有f(x0)=a+b，則求t的取值范圍.

評(píng)析：顯然這里運(yùn)用了直線與曲線位置關(guān)系這一視角，對(duì)原始一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了解答.“線性規(guī)劃”的手段是不能夠很好地解決這一問題的，因此，這一過程充分體現(xiàn)了優(yōu)化之后方法的使用范圍之廣.下面筆者再舉一例.

例4 已知ex-x≥ax+b恒成立(其中a,b∈R)，試求a+b的最大值.

對(duì)這一問題，可令g(x)=ax+b，則原問題轉(zhuǎn)化為ex-x≥g(x)的條件下，計(jì)算g(1).可作圖4.

解法1:如圖4，由于ex-x≥g(x)，因此g(x)=ax+b的“臨界狀態(tài)”是g(x)為y=ex-x的切線.(x0,ex0-x0)為曲線上的點(diǎn)，由此可得該點(diǎn)處的切線方程為y=(ex0-1)x-x0ex0+ex0，也即g(x)=(ex0-1)x-x0ex0+ex0，x0∈R.由此得g(1)=-x0ex0+2ex0-1=h(x0)，由導(dǎo)函數(shù)可得g(1)≤h(1)=e-1.

解法2:如圖4，由于ex-x≥g(x)，因此g(x)=ax+b使得g(1)取最大值的“臨界狀態(tài)”，g(x)為y=ex-x在x=1處的切線.即g(1)=e-1.

評(píng)析：這一問題顯然與線性規(guī)劃問題相去甚遠(yuǎn)，其原始考查內(nèi)容是導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，難度較大.顯然，引入了直線與曲線的位置關(guān)系這一視角之后，原始的問題得到了直觀的呈現(xiàn)，得以更好地認(rèn)識(shí)與解決.

在一個(gè)數(shù)學(xué)問題解決之后，作為在教學(xué)活動(dòng)扮演者引導(dǎo)者角色的教師，可以在快節(jié)奏中停下來(lái)，悟一悟.優(yōu)化一些已有的數(shù)學(xué)解題方法，透過問題表面探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣才能更好地助力學(xué)生跨越一個(gè)又一個(gè)學(xué)習(xí)難關(guān)，不斷提升邏輯推理素養(yǎng).