“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)分析與建議

袁亮

[摘 要] 本文主要通過對人教版A版課標(biāo)教材必修1“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”章節(jié)內(nèi)容從問題引入、思考題設(shè)置、探究欄目安排、例題選擇等方面進(jìn)行解讀分析，并提出結(jié)合課標(biāo)要求、教材編者安排意圖的教學(xué)設(shè)計(jì)和建議.

[關(guān)鍵詞] 對話教材；意圖分析與建議；教學(xué)建議

恩格斯說過“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)”，在這個角度下，“數(shù)形結(jié)合”是聯(lián)系兩者的必要思想，同時也是解決諸多數(shù)學(xué)問題的有力工具. 在很多高中學(xué)生學(xué)習(xí)三年后只知“數(shù)形結(jié)合”四字而不知其意，更別說對“數(shù)形結(jié)合”思想方法的掌握，這與我們教師平時教學(xué)過程中只講是什么不講為什么，重概念的理解與應(yīng)用，不重概念的形成過程有關(guān). “數(shù)形結(jié)合”作為高中數(shù)學(xué)的重要思想方法貫穿始終，同時與數(shù)學(xué)知識唇齒相依，緊密聯(lián)系，在人教版A版課標(biāo)教材必修1“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”章節(jié)中編者就有意向我們展示“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性.

“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”是函數(shù)的具體應(yīng)用之一，與人教版A版大綱教材相對比，這是一個新增內(nèi)容，從教材的編排就知“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性可見一斑. 因此，筆者將在本文中首先通過對話教材，分析教材意圖，再根據(jù)教材意圖分析對教材編寫與教學(xué)提出相應(yīng)的建議，與同行們交流討論.

對話教材

1. 思考題的意圖分析

教材選擇一元二次方程的根與其對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖像關(guān)系作為本節(jié)內(nèi)容的入口，其意圖是讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，問題背景貼近學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的發(fā)展是自然的特點(diǎn).

對于一元二次函數(shù)作圖時，需要確定幾個基本信息：開口、對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 在計(jì)算一元二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時，則需要計(jì)算對應(yīng)一元二次方程的根，這既使得發(fā)現(xiàn)方程的根與其對應(yīng)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系變得自然、不曲折，同時也使得解決函數(shù)的零點(diǎn)就是求解方程的根的思路很清晰，這樣的編排讓學(xué)生的思維遵循著發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的合理邏輯.

2. 圖3.1-1的編排意圖分析

緊接著教材給出了三幅具體二次函數(shù)的圖像如下圖3.1-1：

三幅圖呈現(xiàn)的是同一開口、對稱軸，分別與x軸分別有兩個、一個、零個交點(diǎn)的三個二次函數(shù)，它們分別是y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3，三個二次函數(shù)圖像可看作是同一個二次函數(shù)圖像上下平移后的三個不同位置，任意一個二次函數(shù)在其定義域內(nèi)必有一個極大（?。┲? 觀察三幅圖可發(fā)現(xiàn)函數(shù)極值點(diǎn)的位置會影響函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，由此可見，教材編寫的意圖在于，結(jié)合三幅具體二次函數(shù)的圖像，讓學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，也為解決函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題從函數(shù)圖像的角度解釋了函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、極值性的作用.

在這里“數(shù)形結(jié)合”思想既體現(xiàn)了從抽象到具體，從具體再到一般的認(rèn)知過程，又讓學(xué)生感受到了“數(shù)形結(jié)合”在解決函數(shù)問題的大用——一圖勝千言.

3. 探究欄目的編排意圖分析及建議

教材在得到了方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)三者關(guān)系等價之后，就設(shè)置了如下的探究欄目.

教學(xué)建議

根據(jù)以上分析，現(xiàn)對“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”提出以下教學(xué)建議：

1. 新課引入

我們在初中數(shù)學(xué)中接觸了三個一元二次：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)，那么它們之間有著怎樣的關(guān)系呢？不妨我們先討論其中兩者的關(guān)系，給出教材中的思考題.

教學(xué)分析與建議：以上引入的目的在于，二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一，學(xué)生作二次函數(shù)圖像觀察方程與函數(shù)的關(guān)系是自然的，而且在函數(shù)圖像之中也可以同時發(fā)現(xiàn)與一元二次不等式的關(guān)系. 把多個問題簡單化，抽象問題具體化最直接有效的方法就是“數(shù)形結(jié)合思想”.

2. 新課教學(xué)

（1）方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的定義教學(xué)：通過作一元二次函數(shù)的圖像可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根就是對應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式的解就是對應(yīng)二次函數(shù)函數(shù)值為正（負(fù)）時點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，根據(jù)以上關(guān)系可得到研究函數(shù)零點(diǎn)的必要性.

教學(xué)分析與建議：作圖規(guī)范準(zhǔn)確是“數(shù)形結(jié)合”思想方法運(yùn)用的基礎(chǔ)，同時作圖過程可充分讓學(xué)生產(chǎn)生基本活動經(jīng)驗(yàn)，更加明確函數(shù)圖像與方程、不等式之間的對應(yīng)關(guān)系.

（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理的教學(xué)：既然方程的根與函數(shù)零點(diǎn)可實(shí)現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化，那么在作一個函數(shù)圖像時該怎樣去確定函數(shù)零點(diǎn)所在的位置（區(qū)間）呢？下面我們就對函數(shù)零點(diǎn)所在位置作進(jìn)一步探究.

教學(xué)分析與建議：在這個探究中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生帶著問題解決問題，在確定連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的端點(diǎn)值異號有零點(diǎn)后，進(jìn)行如下問題串式探究：①連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的端點(diǎn)值不異號時，是否意味著函數(shù)沒有零點(diǎn)？②如果在上面問題中函數(shù)有零點(diǎn)，有多少個？③那么如果函數(shù)滿足了函數(shù)零點(diǎn)存在定理，零點(diǎn)個數(shù)情況又怎樣呢？④從以上幾個問題中你是否可發(fā)現(xiàn)影響函數(shù)零點(diǎn)的因素是什么？⑤在函數(shù)滿足零點(diǎn)存在定理的條件下，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是否可進(jìn)一步縮小，怎么更有效率、更方便地縮??？

通過以上的問題串可以“逼”著學(xué)生的思路有方向的縱深，這樣既是一種自主地學(xué)習(xí)，也可以培養(yǎng)學(xué)生在自學(xué)過程中習(xí)慣思維.