柱面坐標計算三重積分的教學(xué)建議

張化朋

【摘 要】利用柱面坐標可以很方便地計算某些三重積分，但是這些積分也可以結(jié)合三重積分的直角坐標法與二重積分的極坐標法來計算。因此，從節(jié)省課時和減輕學(xué)生負擔的角度來說，教師不必在教學(xué)中介紹利用柱面坐標計算三重積分這仲方法。

【關(guān)鍵詞】三重積分；柱面坐標；教學(xué)建議

【Abstract】It is very convenient to calculate some triple integrals via cylindrical coordinates， but these triple integrals can be also calculated by combining rectangular coordinates with polar coordinates. Therefore，from the perspective of saving class hours and relieving studentsburden，it is not needed to introduce the method of calculating triple integral via cylindrical coordinates while teaching.

【Key words】Triple integral；Cylindrical coordinates；Teaching suggestion

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科專業(yè)必修的且最重要的基礎(chǔ)課程之一，也是培養(yǎng)學(xué)生能力和提高學(xué)生素質(zhì)的一門重要學(xué)科。它不但為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)課、專業(yè)基礎(chǔ)課以及專業(yè)課提供必要的數(shù)學(xué)知識和方法，而且更重要的是通過高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，為從事所學(xué)專業(yè)工作和進行深入的科學(xué)研究打下堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

但是，隨著高等教育大眾化的進一步深入，學(xué)生的整體素質(zhì)呈現(xiàn)不斷下降的趨勢，尤其是學(xué)生的數(shù)學(xué)水平參差不齊，再加上個人對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的差異以及學(xué)風的日益不佳，導(dǎo)致了大量的學(xué)生考試成績不及格。

另一方面，各大高校都熱衷于增加大量的綜合素質(zhì)課程，從而導(dǎo)致了高等數(shù)學(xué)課程課時的不斷壓縮，但是教學(xué)內(nèi)容并未減少。這樣就更加劇了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的難度。因此，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)當盡量減少可以減少的教學(xué)內(nèi)容。

重積分的計算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點之一。重積分一般包括二重積分和三重積分。二重積分的常用計算方法有直角坐標法和極坐標法。直角坐標法適合積分區(qū)域為X-型的或者Y-型的，它將一個二重積分轉(zhuǎn)化為先對y后對x或者先對x后對y的兩次定積分。極坐標法適合積分區(qū)域與圓有關(guān)的二重積分，它將一個二重積分轉(zhuǎn)化為先對極徑后對極角的兩次定積分。

計算三重積分的常用方法有直角坐標法、柱面坐標法和球面坐標法（參見文獻[1-2]）。根據(jù)積分區(qū)域的特點選擇合適的坐標法是計算三重積分的關(guān)鍵。球面坐標法適合積分區(qū)域與球面有關(guān)的三重積分。直角坐標法把三重積分轉(zhuǎn)化為先定積分后二重積分（又叫“先一后二”法、投影法）或先二重積分后定積分（又叫“先二后一”法、截面法）。無論是投影法還是截面法，都要計算一個二重積分，而柱面坐標法的本質(zhì)是將其中的二重積分用極坐標來計算。

上式顯然與直接用極坐標計算對x，y的二重積分得到的形式一樣。

從上面的兩個例子可以看出，只要學(xué)生掌握了三重積分的直角坐標法與二重積分的極坐標法，三重積分的柱面坐標法完全可以不必學(xué)習(xí)。因此，從節(jié)省課時和減輕學(xué)生負擔的角度來說，教師不必在教學(xué)中介紹利用柱面坐標計算三重積分這仲方法。

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙洪牛，萬彩云，胡國雷，王友國.高等數(shù)學(xué)（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[責任編輯：田吉捷]