代數(shù)基本定理的拓?fù)渥C明及推廣

孫艷紅，高會雙

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代數(shù)基本定理的拓?fù)渥C明及推廣

*孫艷紅，高會雙

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古，通遼 028000）

拓?fù)鋵W(xué)是一個新興的數(shù)學(xué)分支，用于研究拓?fù)淇臻g在連續(xù)映射下的性質(zhì)。20世紀(jì)后，拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展為數(shù)學(xué)中一個非常重要的領(lǐng)域，擁有大量重大成果：代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的龐加萊猜想的證明是新世紀(jì)最矚目的數(shù)學(xué)成果；拓?fù)鋵W(xué)在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。文中主要給出代數(shù)基本定理的代數(shù)拓?fù)浞椒ǖ淖C明及推廣，并得出了一種復(fù)空間上的不動點(diǎn)原理。

拓?fù)?；同倫；基本群；代?shù)基本定理化

0 引言

代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)是拓?fù)鋵W(xué)的一個分支，即使用代數(shù)方法研究拓?fù)鋵W(xué)問題的學(xué)科。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的主要研究工具有同倫、同調(diào)、胞腔同調(diào)、上同調(diào)等。一維的同論群稱為基本群?；救菏怯赏?fù)淇臻g的同倫關(guān)系誘導(dǎo)的一個群?；救涸诖鷶?shù)拓?fù)渚哂兄匾饔茫梢杂糜谘芯績蓚€拓?fù)淇臻g是否同胚，對拓?fù)淇臻g進(jìn)行分類，描述拓?fù)淇臻g連通性等。

代數(shù)基本定理可以表述為：任意復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一根，這說明了代數(shù)運(yùn)算在復(fù)數(shù)域中的封閉性。代數(shù)基本定理是代數(shù)學(xué)中一個非常重要且基礎(chǔ)的定理，在代數(shù)學(xué)內(nèi)與外都有廣泛的應(yīng)用。

由于該定理涉及領(lǐng)域很廣，其證明方法有很多，據(jù)稱目前已有200多種證明方法。該定理最初由法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾最早給出證明，此后歐拉與拉格朗日也先后給出證明，但這些證明均有一些缺陷。通常認(rèn)為該命題的證明最早由高斯于1799年給出。此后他又給出了三個證明，其中最后一個證明多項式系數(shù)可以為復(fù)數(shù)。

本文在第一部分中列出了所使用的一些預(yù)備知識；第二部分給出了其拓?fù)渥C明以及其擴(kuò)展命題的拓?fù)渥C明，以及它的應(yīng)用。

1　預(yù)備知識

1.1　同倫群與基本群

同倫關(guān)系與基本群是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的有力工具。本節(jié)將介紹相關(guān)概念及性質(zhì)。

基本群是一個同倫不變量，即任意兩個同倫的拓?fù)淇臻g具有相同的基本群。直觀上看，兩個空間同倫，則一個空間可以連續(xù)形變成另一個空間。常見的基本群有：

單點(diǎn)集、維歐氏空間、維球等空間的基本群為獨(dú)異點(diǎn)，即只有一個元素的群。

平面上的圓環(huán)的基本群為無限循環(huán)群。

環(huán)面的基本群為兩個無限循環(huán)群直積×。

1.2　代數(shù)基本定理及推論

2 代數(shù)基本定理的拓?fù)渥C明、推廣及應(yīng)用

本節(jié)將使用代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的同倫群與基本群證明代數(shù)基本定理證明。之后將代數(shù)基本定理適用范圍擴(kuò)展，并證明一個復(fù)數(shù)域上的不動點(diǎn)判定方法。

2.1 代數(shù)基本定理的拓?fù)渥C明

我國發(fā)展初期，林業(yè)資源總量比較豐富，北方森林覆蓋率相當(dāng)可觀。為了促進(jìn)國民經(jīng)濟(jì)水平的發(fā)展，發(fā)展林業(yè)資源已成為重要途徑。隨著更新造林的逐步利用，我國林業(yè)資源總量大幅度減少，主要分布在北方林區(qū)，林區(qū)總面積迅速減少。森林面積的減少破壞了我國北方原有的生態(tài)狀況，對我國的進(jìn)一步發(fā)展和建設(shè)產(chǎn)生了負(fù)面影響。目前，我國已逐漸認(rèn)識到生態(tài)環(huán)境對未來發(fā)展的重要性，正在積極開展退耕還林工作。

此證明使用反證法，假設(shè)定理錯誤，推出了一個定點(diǎn)與一個圓環(huán)同倫，矛盾，因而定理成立。

借助代數(shù)基本定理可以得出許多有用的推論。此外，本節(jié)的證明只涉及了多項式函數(shù)的連續(xù)性和一個與極限有關(guān)的性質(zhì)，因此可以將代數(shù)基本定理的適用范圍推廣，推廣命題將在2.2中進(jìn)行討論。

2.2 代數(shù)基本定理的推廣

本節(jié)將代數(shù)基本定理的適用范圍從全體多項式推廣到滿足一定條件的一類函數(shù)全體。下述命題的證明與代數(shù)基本定理的證明相似。

證明 此命題的證明方法與代數(shù)基本定理的代數(shù)拓?fù)渥C明方法相似：

因此,連續(xù)。

可見，2.2中的證明方法存在一般性，其適用于比多項式更多的一類函數(shù)中。

2.3　推廣命題的應(yīng)用

上一節(jié)的結(jié)論可以用于討論復(fù)空間上的一類連續(xù)映射的不動點(diǎn)：

3　結(jié)語

代數(shù)基本定理可以用不同角度、方法和學(xué)科知識加以證明，這反映了數(shù)學(xué)不同學(xué)科之間廣泛存在的內(nèi)在聯(lián)系，以及代數(shù)問題與幾何問題相互轉(zhuǎn)化的思想。

從本文中可以看出，代數(shù)拓?fù)淇梢苑浅：啙嵉孛枋隹臻g的連續(xù)性，連通性等性質(zhì)，并使用代數(shù)方法進(jìn)行推理。在討論復(fù)雜的歐氏空間和映射時，很難直觀地想象問題的形態(tài)，使用代數(shù)拓?fù)淇梢杂行У乇苊膺@種困難。因此，代數(shù)拓?fù)淇梢宰鳛榻鉀Q幾何問題的一種有力的工具使用。

[1] 周建偉．代數(shù)拓?fù)渲v義[M]．北京:科學(xué)出版社，2007．

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[3] 王驍力,李濤．代數(shù)學(xué)基本定理的推論及其應(yīng)用[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報,2014,13(3):4-8．

A TOPOLOGICAL PROOF AND GENERALIZATION FOR FUNDAMENTAL THEOREM OF ALGEBRA

*SUN Yan-hong，GAO Hui-shuang

（College of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao, Inner Mongolia 028000,China）

Topology is a rising branch of Mathematics, which studies the properties of topological spaces under continuous mappings. After twentieth Century, the topology has become a very important field in Mathematics, and it has a lot of significant results. The proof of Poincare's conjecture in algebraic topology is the most remarkable achievement in the new century; Topology is widely used in other areas of mathematics, topology, physics, chemistry, biology, computer science and Economics. Fundamental theorem of algebra was proved and expanded by algebraic topology in this article，and then we obtained the fixed point theorem on complex space.

topology；homotopy；fundamental group；fundamental theorem of algebra

1674-8085(2018)04-0017-04

O152

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.04.004

2018-01-22；

2018-04-19

內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金項目(2016MS0118)；內(nèi)蒙古民族大學(xué)校級項目(NMDYB15020)

*孫艷紅(1984-)，女，內(nèi)蒙古赤峰人，講師，碩士，主要從事拓?fù)鋵W(xué)的研究(E-mail:240899343@qq.com);

高會雙(1981-)，女，內(nèi)蒙古通遼人，副教授，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摵退阕哟鷶?shù)的研究(E-mail:gaohuishuang@163.com).