抵御執(zhí)行器故障擾動的二次性能指標(biāo)可靠控制

張 瑤，姚　波，王福忠

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抵御執(zhí)行器故障擾動的二次性能指標(biāo)可靠控制

*張 瑤1，姚波1，王福忠2

（1.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧，沈陽 110034；2.沈陽工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧，沈陽 110136）

針對線性不確定系統(tǒng)，在設(shè)計不確定系統(tǒng)保性能問題的基礎(chǔ)上，提出了帶有執(zhí)行器故障的二次性能指標(biāo)可靠控制問題。第一，設(shè)計靜態(tài)輸出反饋控制器給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，且滿足二次性能指標(biāo)。第二，考慮執(zhí)行器連續(xù)增益故障，此時系統(tǒng)在原靜態(tài)輸出反饋控制器下無法維持原性能甚至是穩(wěn)定性。第三，利用LMI給出了靜態(tài)輸出反饋可靠控制器且滿足二次性能指標(biāo)的設(shè)計方法。此控制器可使線性不確定系統(tǒng)在發(fā)生執(zhí)行器故障后滿足二次性能指標(biāo)且依然保持穩(wěn)定。最后，根據(jù)MATLAB仿真結(jié)果證明了該可靠控制器的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

靜態(tài)輸出反饋；執(zhí)行器故障;二次性能指標(biāo)；線性矩陣不等式(LMI)；保性能

保性能控制是指系統(tǒng)在其允許擾動的范圍內(nèi)保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且二次性能指標(biāo)有界。在保性能控制進(jìn)行大量研究以來，不確定系統(tǒng)的保性能控制受到了人們的高度關(guān)注。文獻(xiàn)[1-4]描述了不確定系統(tǒng)下的保性能控制的相關(guān)研究，提出了保性能控制器的設(shè)計方法。然而，在實際的控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)不會永遠(yuǎn)在所期望的理想狀態(tài)下運行，很大程度上會出現(xiàn)故障且無法避免，一些故障一旦發(fā)生，會使系統(tǒng)失去其優(yōu)質(zhì)的性能甚至失去穩(wěn)定性。所以，針對故障設(shè)計相應(yīng)的控制器，使系統(tǒng)依然能保持原有的性能且穩(wěn)定是至關(guān)重要的。文獻(xiàn)[5-8]為學(xué)者對可靠控制的相關(guān)研究，在系統(tǒng)出現(xiàn)故障的情況下，系統(tǒng)依然能夠漸近穩(wěn)定。保性能問題與可靠控制問題的結(jié)合是可以在滿足二次性能指標(biāo)的同時即使系統(tǒng)出現(xiàn)故障，系統(tǒng)依然能保持穩(wěn)定的關(guān)鍵，是具有實際研究價值的。所以，保性能可靠控制的研究進(jìn)入了人們的研究領(lǐng)域當(dāng)中。文獻(xiàn)[9-13]給出了二次性能指標(biāo)問題的一些研究思路及保性能可靠控制的一些設(shè)計方法。

本文考慮線性不確定系統(tǒng)，引入了靜態(tài)輸出反饋控制器，避免了狀態(tài)反饋在實際系統(tǒng)中難以采集狀態(tài)的問題，動態(tài)輸出反饋的過程又過于復(fù)雜。給出了基于二次性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計算法。在此基礎(chǔ)上，考慮執(zhí)行器故障，提出了帶有執(zhí)行器故障擾動的保性能可靠控制，給出了基于二次性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋保性能可靠控制器的設(shè)計算法，使得系統(tǒng)即使發(fā)生故障，其依然能保持漸近穩(wěn)定且滿足二次性能指標(biāo)。最后，通過仿真算例證明出本文結(jié)論的正確性和科學(xué)性。

1　問題描述

首先考慮如下線性不確定系統(tǒng)：

△()

式中，為適維維數(shù)的常數(shù)矩陣；()為未知的時變實值連續(xù)矩陣函數(shù)，其元素Lebegue可測，且：

θ()() ≤

對線性系統(tǒng)（1）引入靜態(tài)輸出反饋控制器

()=() (2)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)

執(zhí)行器連續(xù)增益故障矩陣模型描述為：

下面考慮執(zhí)行器故障（4），此時系統(tǒng)可以表述為：

由此得到新的閉環(huán)系統(tǒng)

其中，K為可靠控制器增益矩陣其為待設(shè)計矩陣。

對線性系統(tǒng)（1）及（5）定義二次性能指標(biāo)

為系統(tǒng)（1）及（5）的性能函數(shù)，式中=Q＞0為給定的加權(quán)矩陣。

引理1對于線性連續(xù)系統(tǒng)和性能函數(shù)，如果存在正定矩陣，使得+AP＜-，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且性能函數(shù)滿足：

其中0為系統(tǒng)的初值，即0=(0)。

證明設(shè)′＝0∴′′＝0整理得(′) ′(′)=0?！嗍恰琳ǖ膶ΨQ矩陣，且′＝0，即′＝0。又∵′是可逆的，所以只有＝0這個零解。

綜上所述，方程只有零解，即′是可逆的，引理得以證明。

2　主要結(jié)果

2.1　基于二次性能指標(biāo)的線性不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計

定理1 對系統(tǒng)（1）和性能函數(shù)（7）存在靜態(tài)輸出反饋保性能控制器的充分條件是存在標(biāo)量＞0，矩陣和正定的矩陣，使得：

如果LMI的可行解為(,,)，則()=-1()為系統(tǒng)（1）的一個靜態(tài)輸出反饋保性能控制器，其中可以由求得。相應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo)的上界是：

≤Trace(-1)=*

證明由引理1可知，定義二次性能指標(biāo)

對于系統(tǒng)（1）存在靜態(tài)輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的充分條件是：

1.1 一般資料 選擇2015年6月～2017年5月在我院骨科就診的股骨中下段術(shù)后患者48例。納入標(biāo)準(zhǔn)：臨床診斷股骨中下段骨折，行切開復(fù)位髓內(nèi)釘/單鋼板內(nèi)固定術(shù)；年齡18～55歲。排除標(biāo)準(zhǔn)：伴有膝關(guān)節(jié)內(nèi)骨折、韌帶損傷、周圍神經(jīng)損傷，或合并全身多發(fā)性骨折等，合并嚴(yán)重心、腦、肺、肝、腎疾病；既往患有膝關(guān)節(jié)骨關(guān)節(jié)病史等陳舊性損傷患者；骨腫瘤或腫瘤轉(zhuǎn)移等原因?qū)е碌牟±硇怨钦刍颊?。所有患者均簽署《康?fù)知情同意書》，48例患者采用隨機(jī)區(qū)組法分為觀察組和對照組各24例。2組患者一般資料比較差異無統(tǒng)計學(xué)意義，具有可比性。見表1。

+(+△+)+(+△+)P＜0 (9)

因為＞0是正定矩陣，-1也是一個正定矩陣，?。?1。在式（9）兩端同時乘有：

+(+△+)+(+△+)＜0 (10)

將△=()，=，=代入（10）中有

++++XA+()+

()+(())＜0

設(shè)1=+++XA+()+

()+()+(())

其中：π＝+++XA+()，＝()+

(())，即1=π+φ。

由引理4可知，對任意常數(shù)＞0，都有

()+(())≤-1()()

所以有

π+-1()() ＜0

由Schur引理可知：

下證可逆。對等式=兩邊乘以C得：

VCC=CXC則V=CXC(CC)-1

因為CXC是可逆的，所以V可逆。即定理得證。

2.2 基于二次性能指標(biāo)的線性不確定系統(tǒng)執(zhí)行器故障靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計

定理2對系統(tǒng)（5）和性能函數(shù)（7），存在考慮執(zhí)行器故障靜態(tài)輸出反饋保性能控制器的充分條件是存在標(biāo)量＞0，矩陣和正定的矩陣，使得：

如果LMI的可行解為(,,)，則()=-1()為系統(tǒng)（5）的一個靜態(tài)輸出反饋保性能控制器，其中可以由求得。相應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo)的上界是：≤Trace(-1)=*。

證明由引理1可知，定義二次性能指標(biāo)

對于閉環(huán)系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的充分條件是：

+(+△+BFKC)+(+△+ BFKC)P＜0 (12)

因為＞0是正定矩陣，-1也是一個正定矩陣，?。?1。在式（12）兩端同時乘有：

+(+△+ BFKC) +(+△+ BFKC)＜0 (13)

將△=()，=，=代入（13）中有

++ BFKC+XA+

( BFKC)+()+(())＜0

設(shè)

2=+++ BFKC+XA+( BFKC)+

()+()+(())，

其中π＝+++ BFKC+XA+( BFKC)，

＝()+(())，即2=π+φ。

由引理4可知，對任意常數(shù)＞0，都有

()+(())≤-1()()

所以有π+-1()() ＜0。

由Schur引理可知：

下證可逆。對等式兩邊乘以C得：

VCC=CXC

則V=CXC(CC)-1。因為CXC是可逆的，所以可逆。即定理得證。

3　仿真結(jié)果

考慮如下線性不確定系統(tǒng)：

則基于二次性能指標(biāo)的線性不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋控制器為：

性能指標(biāo)的最小上界為：*＝0.0017，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，如圖1所示。圖1表述的是正常的不確定線性系統(tǒng)在無故障的情況下，通過設(shè)計基于二次性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋保性能控制器使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定。

圖1 靜態(tài)輸出反饋保性能控制器使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

如下為當(dāng)執(zhí)行器故障發(fā)生時，選擇執(zhí)行器故障增益變化范圍滿足0.8 ≤1≤ 4.2，2= 1，原始的控制器無法保持系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，如圖2。

圖2 系統(tǒng)出現(xiàn)故障，原控制器無法使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定

對于同一故障，使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定設(shè)計新的帶有二次性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋控制器為：

性能指標(biāo)的最小上界為：*＝0.0017，系統(tǒng)再次保持漸近穩(wěn)定，如圖3所示。圖3表述的是選擇執(zhí)行器故障的增益變化范圍仍是：0.8 ≤1≤ 4.2，2= 1的前提下，重新設(shè)計的帶有二次性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋控制器，使系統(tǒng)重新保持漸近穩(wěn)定。

圖3 當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時可靠控制器

Fig.3 Reliable controller when the actuator fails

4 結(jié)論

本文設(shè)計了不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋保性能控制器，在此基礎(chǔ)上考慮了執(zhí)行器故障，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時，系統(tǒng)已經(jīng)失去了穩(wěn)定性，為了加深一步研究，筆者考慮令保性能控制與可靠控制結(jié)合，給出了靜態(tài)輸出反饋保性能可靠控制器的設(shè)計算法，即在執(zhí)行器發(fā)生同一故障的情況下，應(yīng)用該保性能可靠控制器使系統(tǒng)依然保持漸近穩(wěn)定，同時滿足相應(yīng)的性能指標(biāo)。最后，通過數(shù)值仿真驗證了本文定理結(jié)論的正確性。

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QUADRATIC PERFORMANCE CRITERION RELIABLE CONTROL AGAINST ACTUATOR FAILURE

*ZHANG Yao1, YAO Bo1, WANG Fu-zhong2

(1. College of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang, Liaoning 110034, China； 2. Department of Preparatory Courses, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang, Liaoning 110136, China)

Considering the linear uncertainty systems based on the design of protection performance problem for uncertain systems, the problem of quadratic performance criterion reliable controlwith actuator failures is studied. Firstly, the static output feedback controller was designed, and sufficient conditions for the asymptotically stable of the system was given, at the same time, the quadratic performance criterionis satisfied. Secondly, once the actuator fails, the system can’t remain the original performance or even stable under the action of the original static output feedback controller. Thirdly, a static output feedback reliable controller was designed by LMI, and it satisfies quadratic performance criterion. This controller can make linear uncertain systems keep asymptotically stable after the actuator failure, simultaneously, satisfying the quadratic performance criterion. Finally, the MATLAB simulation is presented to verify the scientific and rigorous of the reliable controller.

static output feedback; actuator failure; quadratic performance criterion; linear matrix inequality(LMI); protection performance

1674-8085(2018)04-0001-05

TP13

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.04.001

2018-04-16；

2018-05-14

遼寧省科學(xué)技術(shù)基金項目（20170540823）

*張 瑤(1993-)，女，遼寧阜新人，碩士生，主要從事運籌學(xué)與控制論研究(Email:821841264@qq.com);

姚 波(1963-)，女，遼寧沈陽人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事可靠控制理論研究(Email:920996024@qq.com);

王福忠(1963-)，男，遼寧沈陽人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事可靠控制理論研究(Email:1228109136@qq.com).