結構教學法與如何解題

李鴻志

摘 要：“如果一個學生的大學課程中包含了某些數(shù)學科目，那么他就有了一個獨特的機會”出自《怎樣解題：數(shù)學思維的新方法》一書，作者是一位享譽世界的美國數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞（George Polya）。結識此書，是筆者的幸運，也是事業(yè)新篇章的開始。

關鍵詞：初中 結構教學法 解題

關于如何解題，筆者并沒有完全照搬作者的四步法，概括起來，包含以下四步：第一，必須理解題目。第二，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系。如果找不到直接的聯(lián)系，你也許不得不去考慮輔助題目。最終你應該得到一個解題的方案。第三，執(zhí)行方案。第四，檢查已經(jīng)得到的解答。波利亞作為一位享譽世界的數(shù)學教育家，他的理論具有普遍意義，但是，結合自身工作的十多年經(jīng)驗，筆者意識到要結合自身的教育環(huán)境，有所豐富和發(fā)展。中國的國情是發(fā)展的不均衡，同樣在哈爾濱市的各個區(qū)縣，每所學校又存在這樣或那樣的差異。就是在同一所初中，也存在屆與屆之間的不同。一位耕耘講臺數(shù)十載的一線教師：北京市數(shù)學特級教師，中國數(shù)學會理事，全國人大代表孫維剛老師以及他的“結構教學法”映入了我的眼簾，之所以選擇了孫老師的理論作為筆者工作的突破口，這與他所帶過的畢業(yè)班成績息息相關。孫老師的學生們學習靈活性都很強，也都有很強的自學能力。孫老師帶的班成績都好得驚人，最好的班有全班55%的同學考上清華北大，其余全是一類本科，更難得的是他從不布置課后作業(yè)，即使高三學生也能保證每天睡到8個小時以上，這簡直不可想象，但是孫維剛老師，做到了！這給了筆者巨大的震撼！筆者從2012年起，連續(xù)三年帶初四畢業(yè)班，有一定的成績積累，但是這其中的遺憾自己是最清楚的，哪個孩子如果……，也許……，但是，能不能少留遺憾或者不留遺憾？這是我當老師最常想的，既是困惑，也是事業(yè)的瓶頸所在?？吹搅藢O維剛老師的平凡與偉大之后，我覺得，我也可以。也正是因為有這樣的心愿和想法，關于孫老師的書籍就成為我手頭上的常備書。“結構教學法”概括起來：一、學會找知識的新舊聯(lián)系。二、讓思維前置和動筆前移。三、具備學習的四種基本能力。

下面筆者結合這幾年的畢業(yè)班教學經(jīng)驗，談談筆者是如何綜合運用波利亞和孫維剛老師的教學法來大面積提高初四數(shù)學成績的。

結合“結構教學法”的第一條論述談談筆者的認識：哲學上講，事物是普遍聯(lián)系的，現(xiàn)在雖然是知識爆炸的時代，但是知識的演進確是有其規(guī)律的，數(shù)學領域尤其如此。從①數(shù)學形成時期，人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡單的計算法，并認識了最基本最簡單的幾何形式，但是算術與幾何還沒有分開。到②初等數(shù)學，即常量數(shù)學時期。這個時期的基本的、最簡單的成果構成中學數(shù)學的主要內(nèi)容。這個時期從公元前5世紀開始，也許更早一些，直到17世紀，大約持續(xù)了兩千年。這個時期逐漸形成了初等數(shù)學的主要分支：算數(shù)、幾何、代數(shù)。再到③變量數(shù)學時期。變量數(shù)學產(chǎn)生于17世紀，大體上經(jīng)歷了兩個決定性的重大步驟：第一步是解析幾何的產(chǎn)生；第二步是微積分（Calculus），即高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎學科。內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。直至④現(xiàn)代數(shù)學?，F(xiàn)代數(shù)學時期，大致從19世紀上期葉開始。數(shù)學發(fā)展的現(xiàn)代階段的開端，以其所有的基礎——代數(shù)、幾何、分析中的深刻變化為特征。

回顧這一路的進化，是螺旋式上升的過程，是幾何與代數(shù)，抽象與具體交替運用，相互影響的過程。這一激動人心的知識交叉造就了數(shù)學大廈的偉岸挺拔和枝繁葉茂！而所謂知識的“新舊”其實是指出現(xiàn)時間的先后?？鬃又v：“溫故而知新，可以為師矣”，說的就是固本的重要性。所以知識哪里有老了這一說，也正是因為有這樣的誤解，學生在學習時不注重已有知識的鞏固與提煉，而是一味的只圖學新知，圖快，圖捷徑，這些都是誤區(qū)！只有基礎牢固，知識的調(diào)用才快且準確！筆者時常跟學生講，處在青春期的你們不要因為受老師和家長的管教就怨恨我們，靜下心來，付出功夫但是成績平平的原因是知識離你的距離不均等造成的。光有一番熱情，躊躇滿志地走進考場，垂頭頓胸，沮喪哀嘆地出考場，是因為老師沒教過嗎？是因為沒學過嗎？都不是！事后孩子們總是說初四總復習期間，我都做過這些題呀，知識點一說就會，一做就蒙，是什么原因？究其原因，知識碎片化，知識組織不合理是最重要的原因。根據(jù)心理學發(fā)現(xiàn)：學優(yōu)生和學差生的知識組織是不一樣的。學差生頭腦中的知識是零散的和孤立的，呈現(xiàn)水平排列方式、列舉方式，而學優(yōu)生頭腦中的知識是有組織和系統(tǒng)的，知識點按層次排列，并且知識點之間有內(nèi)在聯(lián)系，呈現(xiàn)出一個層次網(wǎng)絡結構。如果知識在頭腦中無條理地堆積的話，那么知識越多，越不利于問題的解決，就像是進入圖書館借書一樣，當書按一定順序整齊地排列著，那么書會很容易找到；但書如果無順序、雜亂無章地堆放著，我們就很難找到需要的書。有些家長會說自己孩子上課聽講很認真，也挺聰明，但就是考試不出成績，上課時都會，就是不會做題。什么原因會這樣呢？其實這就是知識零散造成的結果。結構乃是決定事物性質的重要因素。學生獲取信息學習課內(nèi)外知識，將這些信息、知識進行有目的的加工整理，即把個別的、零散的、無規(guī)律的知識、信息，進行分析、歸納、篩選，按其內(nèi)在聯(lián)系， 分門別類，納入相應的“知識庫”中，使之結構化、系統(tǒng)化，形成網(wǎng)絡。這樣，運用時可以準確、迅捷地從“知識庫”中提取有效的知識信息解決問題，吸收新知 識、信息，進而掌握《大綱》中應掌握的知識，形成《大綱》中應形成的能力。對知識信息進行加工整理，并納入相應的“知識庫”，使之結構化、系統(tǒng)化，形成“知識網(wǎng)絡”，簡而言之：整理知識。這是建立合理的知識結構的關鍵環(huán)節(jié)。它實際上包含這樣的兩個方面：（1）知識門類化，即對所獲取的個別的、零散 的、無規(guī)律的知識信息進行加工、篩選、并按其內(nèi)在聯(lián)系分門別類：（2）知識結構化，即將門類化的知識、信息納入“知識庫”中，使之結構化、系統(tǒng)化，形成知識網(wǎng)絡。合理的知識結構可以在運用時，快速、準確地提取有效的知識?！獋€人是否真正把知識學到手了，要用“運用”來檢查。如果學了許多知識但不能在“運用”中表現(xiàn)出來，所貯存的知識不能根據(jù)需要成為進一步學習和解決實際問題的智慧和力量，那就是沒有把知識學到手。引導學生建立合理的知識結構，就是為了幫助學生快速提取，充分運用己掌握的知識，使知識發(fā)揮作用。當你走進一座相當規(guī)模的圖書館，藏書幾萬、幾十萬、幾百萬乃至上千萬冊，想借一本書，只要你遞上索書單，工作人員就能從數(shù)以萬計、十萬、百萬乃至上千萬計的茫茫書海中，快速、準確地找到它，讓你如愿以償。為什么能這樣迅速而準確地做到呢？最根本的一點是：圖書館中的每本書，并非零散的，無系統(tǒng)性、規(guī)律性的，而是按某種結構標準進行劃分歸類，使它們從屬于各自的類目。工作人員就是以這為基礎，根據(jù)這些，從相應的不同級別的書庫中、書類目中準確快速地找到它的。試想如果你不提供這本書所在的類目情況；如果圖書館的數(shù)以萬計，乃至上千萬計的書沒有進行有目的的整理，分門別類，而是隨意堆放，毫無規(guī)律性、結構 性，那么，工作人員要找到它真的如大海撈針，千難萬難。由此可見，圖書館的運作過程中，把圖書按一定的標準加以分類，并根據(jù)這種分類建立相應的各級別各類目的書庫，按照設定的各級別各類目的書庫情況，對進入館內(nèi)的每本書進行分類，標明其從屬的類目，至關重要。

由此，結構教學法就凸顯出其重要的價值和實際意義。以數(shù)學為例，我就有過這樣的處理，當時并不知道這樣的做法已經(jīng)被他人理論化，系統(tǒng)化。這也說明我們的一線老師應該自信，自信于我們的工作是有價值的，自信于我們只要破除不必要的藩籬，以學生最終掌握知識為最大公約數(shù)，緊緊服務于人性化的教育，人性化的管理和人性化的責任擔當。在我講初四弧長和圓心角這一節(jié)時，小試牛刀了一下?；￠L公式是盡管書上有360°的分割法，但是學生在具體操作時，基本忽略。這是實際真實情況，不是老師的主觀臆斷。那么，如何處理？相信很多老師也是如此操作的，那就是講透無論是弧長還是扇形面積，它們都是圓的一部分，一個是圓周長的一部分，一個是圓面積的一部分。那么，這一部分就是理解的重點，通過舉例子，比如：

圖中，AC⊥BD，扇形AOD的弧長是多少？面積是多少？學生會很容易脫口而出：是圓周長和面積的四分之一；問題繼續(xù)推進：四分之一是怎么來的？

回答： 。

這樣，就初步解決了公式的推導問題：

，

書上就是這兩個公式，但是，考察時卻非常靈活，由于這兩個公式中都含有相同的量：n，π，R，所以：l和S之間必然可以相互表示。

這樣：，

這就是第3個公式；當扇形圍成立體的圓錐時，

帶入中，則，

此為第4個公式；

最后，公式和公式

聯(lián)立推出：，此為第5個公式。我認為這樣的推導授課是符合結構教學法的，之所以摒棄死記硬背式的授課，看似耽誤時間，實則這樣有助于理解式記憶，在關鍵時可以自己按邏輯推導。初中的孩子的智力發(fā)育水平是從具體轉為抽象，采用結構教學法，給學生的是知識的體系，得到的是系統(tǒng)的能力。

那么結構教學是否僅僅適用于初四的教學呢？非也。知識體系的構建是螺旋式的，僅應用題就分散在每個階段的學習中，盡管對應不同的學段，但是正適用于結構教學，在這當中用到歸納法，邏輯演繹法，分類討論法。在知識上指導學生注意追根究底，尋找知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，在比較中學習新知識、站在哲理的高度思考問題，注重聯(lián)想。在解題中指導學生一題多解，多題歸一，多解歸一，歸納共性，分離個性，從而形成強大的學習能力。

結合“結構教學法”的第二條論述談談筆者的認識，讓思維前置和動筆前移。這一條是宏觀的指導，具體應該參考波利亞的做法，他給出了四大步驟：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、檢查解答。筆者在具體的備課的過程中，把整個復習看成一個螺旋上升的進程，堅持量變產(chǎn)生質變的原則，打破一輪二輪三輪復習的模式，在班級建立起大循環(huán)的知識結構意識，每天都要練習中考試卷中的1～20題，一般而言，60分的卷面，初始階段的平均水平在45分左右，階段目標是57分到60分。這是策略層面，方案就是要堅持，每天上午的課除了要把當天的復習要點處理完之后，馬上轉入到基礎題的復習，由于學生在校的認真程度要遠遠好于在校外，因此，抓緊課上的時間進行做題是必要的，也是可行的。這有如下的好處：把考試作為一種習慣前置到考前的每一天，心理層面就適應的比較好，筆者很反對空洞的的說教，孩子能坦然地走出考場絕對不是考試當天注意到了所有需要注意到的問題，而是他已然形成了一種習慣，這種習慣能夠兵來將擋水來土掩，遇到問題就興奮，不是害怕問題的出現(xiàn)。因為把臨考的一切準備有條不紊的前置好了，接下來就按照知識的內(nèi)在結構，把初中的整體指示貫穿好，這要求我們的老師打通初高中的知識壁壘。形成前后呼應的，左右逢源的知識網(wǎng)絡。循序漸進，逐步優(yōu)化，這是整體的觀念。在這樣的原則指導下，我們的成績在最開始并不顯出什么特別之處，但是當整個學校的復習進行到三輪復習之后，我所帶的班級的成績就開始穩(wěn)步提升，道理很簡單，只知道老師領著復習到哪的學生或班級，猶如熊瞎子掰苞米，掰一穗丟一穗。所得甚少，幾無所會，而且普遍表現(xiàn)出疲勞感。因為過去的幾輪復習中，學生認為學會的也只是樹木，而很少見到森林?，F(xiàn)在老師們所認為的進行完一輪二輪復習，孩子就應該如何如何，實際上一再被大多數(shù)學生所打臉。事實勝于雄辯，在升學這樣的硬性安排下，不可能一味的靠給學生壓力和給家長壓力來求得學生心甘情愿的學習。筆者在講解比較難的試題的時候不是直接給出解決問題所用到的輔助線或數(shù)學思想，而是以一個學生的角度來挖掘思維深處的點點火苗，然后按知識的邏輯順序或交叉關聯(lián)，講原理，滲透數(shù)學思想。在課堂中，也不應以45分鐘為界限，應該說講到哪，要看當堂學生的接受情況為準，這些對于教師的備課要求更加的嚴苛，不是把題，哪怕是老師所認為好題給學生就了事云云，所以，有必要先調(diào)整好老師自身的意識和實際的做法，在這方面，我還是要不斷的摸索方法，調(diào)整心態(tài)，把課堂利用的更加高效。

在當下的數(shù)學教學中，教師普遍采用“基本形”的教學套路。所謂“基本形”就是一些典型例題，或者出現(xiàn)頻率特別高的試題平臺。比如“角分互補形”“共點雙等邊”“M形全等”“子母相似形”“含45°雙垂形”等等，非常的流行。作為知識的集合體，能比較好的聯(lián)系基礎知識和中考試題，是“結構教學法”的有力支撐。每一屆我都在堅持復習基礎知識的同時，滲透這些能夠帶來思考，契合波利亞解題理論的教學模式。學生在這樣的訓練下，通過模仿和實踐來學會他們所要學會的實踐技能。要想提高學生的解題能力，必須逐漸培養(yǎng)學生思維里對題目的興趣，并且給他們足夠的機會去模仿和實踐。因此，基于波利亞的這套理論，在“基本形”的教學模式下，循序漸進，橫向找命題的規(guī)律，縱向找問題的深度。在連續(xù)三屆的中考中，得到了不錯的反饋。孩子們興奮地跟我說：“老李，今年的20題你講過！”我一臉茫然，不可能啊，原題怎么會講過？“考的是你講過的大角的拆分?。俊薄笆前。】刹皇菃?！正是講過的題的條件套路”，真的和我平時研究的解題招數(shù)有關系！這樣的結果更加鼓勵我在平時的教學中挖掘怎樣解題，既來源于基本題型，又不拘泥于基本形，跳出具體的某道題，而是從邏輯的必然性上來推進教學的每個環(huán)節(jié)。

結合“結構教學法”的第三條論述談談我的認識，具備學習的四種基本能力。（1）發(fā)現(xiàn)研究對象的能力；（2）圍繞研究對象確定研究角度的能力；（3）尋找知識之間聯(lián)系規(guī)律的能力；（4）建構知識網(wǎng)絡制作聯(lián)系導圖的能力。所謂各種能力，關鍵還在于平日的教學策略。教師對于整個教材的把握決定了老師對于學生能力的設定高度，越是對知識體系有清晰透徹的認知，越是有知識的架構方案。比如說因式分解的意義是什么？在實際學習活動中，學生經(jīng)常犯這樣的錯誤。就是把因式分解和整式的乘法相互混淆，光用概念“積化和差”意義不大。我在具體的教學中，我引入這樣的例子：求解方程x2-3x-10=0和（x-5）（x+2）=0，在解答之前，我問學生：哪個方程更加容易看出答案？學生異口同聲是（x-5）（x+2）=0，因為x-5=0或x+2=0，這樣的認識是基于ab=0a=0或b=0，那為什么容易解決呢？最后發(fā)現(xiàn)是因為方程的左側通過因式分解后次數(shù)由2次變?yōu)榱?次，這就是因式分解的意義所在。我再結合整個中學階段關于解方程的兩大方法開始引導，一個是消元，一個是降次，學生頓感通透，同時對于因式分解更加的有興趣。這個過程就是賦予學生能力的過程，所以老師在這樣的過程中，既是學習的組織者，同時又是能力開發(fā)的引導者，可以這樣下結論，做再多的因式分解的試題，都不如先領會它的意義來的重要。知識結構的合理與否直接決定著孩子能力的發(fā)展水平。所以，研究結構教學法和波利亞的怎樣解題，都是在不斷的反思自我。也只有自我充實了，知識框架完備了，那么駕馭課堂的能力就自然有了。孩子們的解題能力、思維水平、綜合素質就會水到渠成，要的只是耐心和平常心。

結語

教師作為教學活動的主體，把孩子們在學習活動中的每一面都作為研究的課題，因地制宜，因材施教，必然會沉浸在教學中，接受更多先進的教學理念和最有效的做法，而不是故步自封，亦步亦趨。我們要做孩子們快樂成長的引路人，這個過程艱辛，但充滿正能量！