明確目標(biāo) 精選例題 高效備考①
——數(shù)列綜合復(fù)習(xí)課的實踐與思考

丘遠青

(福建省福州第一中學(xué) 350108)

在我校組織的一次跨省校際高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會上，筆者以一節(jié)“高三數(shù)列綜合復(fù)習(xí)課”為載體，就“如何加強高考復(fù)習(xí)有效性”展開研究，期間經(jīng)歷了教學(xué)目標(biāo)的確定、例題的選擇、備課與磨課、教學(xué)實踐與評課、教學(xué)反思與總結(jié)等一系列活動.在此過程中，與專家、同行的交流使我獲益良多，解決了高考復(fù)習(xí)教學(xué)中的一些困惑與問題，并形成了對高考復(fù)習(xí)有效性的一些理性認識. 本文結(jié)合實踐過程呈現(xiàn)這些認識，期待拋磚引玉.

1 初始教學(xué)設(shè)計

1.1 教學(xué)目標(biāo)

在學(xué)生已有知識、方法的基礎(chǔ)上，更進一步地讓學(xué)生形成整章的知識脈絡(luò)，提升數(shù)學(xué)解決問題和分析問題的能力.

1.2 例題選擇

高三復(fù)習(xí)課，選題是非常關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié).筆者在教學(xué)設(shè)計時把主要精力放在這里，與大多數(shù)老師的做法一樣，筆者以高考“考什么”、“怎么考”為導(dǎo)向來選題，將歷年高考題或各地的模擬題進行歸類，選擇原題或適當(dāng)改編，作為課堂上的例題，將它們設(shè)計為一個問題串：

例已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1,a2=2，Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*).

(1)證明：數(shù)列2an為等比數(shù)列；

設(shè)計意圖該問題是高考常考知識點，凸顯數(shù)列的核心內(nèi)容，突出基礎(chǔ)知識、基本方法.通過數(shù)列前n項和與通項之間的關(guān)系，揭示等差、等比數(shù)列通項的遞推關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系；通過解法交流，強化通性通法，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、數(shù)學(xué)直覺、推理論證及運算求解能力.

(2)設(shè)bn=2n-1,cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan},n=1,2,3,…，其中maxx1,x2,…,xi表示x1,x2,…,xi這i個數(shù)的最大的數(shù)，求數(shù)列cn的通項公式；

設(shè)計意圖在復(fù)習(xí)數(shù)列基礎(chǔ)知識之后，引入“新定義”，旨在加深學(xué)生對數(shù)列知識的理解，尤其是對數(shù)列是一種特殊函數(shù)的認識.在對問題的分析、解決過程中，體會特殊到一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

(3)你能根據(jù)題目條件構(gòu)造一個數(shù)列求和的問題嗎？

設(shè)計意圖數(shù)列求和是高考?？贾R點，在學(xué)生提出問題和解決問題的過程中，系統(tǒng)復(fù)習(xí)數(shù)列的求和方法.

設(shè)計意圖在學(xué)生掌握數(shù)列求和的基本方法后，提出此問題，希望學(xué)生避免盲目套用方法，加深對數(shù)列求和方法的理解，體會代數(shù)問題的核心是運算.

2 教學(xué)設(shè)計診斷分析

因為是面向全省的開放式教研活動，為了保證質(zhì)量，學(xué)校邀請了國內(nèi)知名的數(shù)學(xué)教育教學(xué)專家指導(dǎo)本次活動，而且將重點首先放在教學(xué)設(shè)計的研討上.就以上教學(xué)設(shè)計，大家對如下問題進行了討論.

2.1 如何制訂教學(xué)目標(biāo)

“這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是否合適？”這是專家們提出的第一個問題.

雖然在教學(xué)設(shè)計時也考慮過這個問題，但實事求是地說，筆者一直覺得“這不是問題”，復(fù)習(xí)課只要把題目選好就可以了.所以，在平時教學(xué)中，筆者幾乎不寫教學(xué)目標(biāo).初始教學(xué)設(shè)計中呈現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)，只是為了應(yīng)付這次研討活動.專家們指出：如果教學(xué)目標(biāo)不清晰、不具體，那么將會造成一系列的問題，如例題選擇的目的性，例題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)性，教學(xué)過程的合理性等.

通過研討使我認識到，由于自己對教學(xué)目標(biāo)缺乏深入思考，所給出的教學(xué)目標(biāo)過于空乏，缺乏針對性，導(dǎo)致例題選擇比較隨意，必然帶來教學(xué)重點不突出，不能有效解決學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，也不能有效提升學(xué)生的解題能力等.

2.2 如何選擇例題

“你是如何選擇例題的？”這是第二個研討問題.

這是筆者自認為考慮非常充分的問題，于是非常自信地對前述例題的設(shè)計意圖進行了闡述.討論中，專家們從另一個角度提出了問題，即例題的選擇應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)而定，要根據(jù)實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的需要. 如果從單個題目來看，可能是一個“好題”，但如果從完成教學(xué)任務(wù)的整體需要看，就有可能不是一個適當(dāng)?shù)念}目. 本節(jié)課例題的選擇不當(dāng)，其根源在于教學(xué)目標(biāo)過于宏觀，導(dǎo)致例題的選擇缺乏針對性，如問題(3)過于開放，在高三復(fù)習(xí)課中并不合適，不僅沒有圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，而且影響課堂效率.

2.3 如何安排題目的順序

研討的第三個問題是“例題順序的安排有什么考慮？”

有了好的題目，如果順序不當(dāng)，深一腳淺一腳，那么也會大大降低教學(xué)效果. 筆者對于例題順序安排的大概想法是：遵循由易到難的原則，重視思維的貫通性.大家在討論中提出，這個想法當(dāng)然是對的，但是在具體設(shè)計時，要對每一個例題所涉及的知識、數(shù)學(xué)思想方法以及能力要求做一個深入分析，對題目的難度以及內(nèi)在聯(lián)系做到心中有數(shù)，在此基礎(chǔ)上做好問題串的預(yù)設(shè)，給學(xué)生提供拾階而上的臺階. 這樣，不僅能使難題變得容易，而且也有利于學(xué)生在面對難題時形成問題解決策略，有效發(fā)展學(xué)生的解題能力.

2.4 如何安排教學(xué)活動

筆者認為這不是問題，因為題目選好了，順序排好了，課上讓學(xué)生逐個解題就可以了. 但研討中大家指出，讓學(xué)生解題、討論解題思路、老師講題目的各種解法等等，確實是主要的教學(xué)活動，但其中的內(nèi)涵可以有不同. 如果是以“會解這個題”作為活動導(dǎo)向，那么學(xué)生很可能是“僅僅會解這個題”. 以，為了達到“會解這類題”的效果，教學(xué)活動的安排，應(yīng)著重考慮如何讓學(xué)生“知道怎么想”、“為什么這么想”. 這就要尊重學(xué)生的主體地位，給學(xué)生充分的獨立思考、自主解題的時間，在學(xué)生有了想法、有了結(jié)果后再組織學(xué)生進行互動交流，教師只要在疑難點、易錯點等進行適度的點撥，并在知識的聯(lián)系、思想方法的提煉等方面提示學(xué)生，幫助他們完善學(xué)習(xí)過程，學(xué)會有邏輯地思考.如問題(2)對中等以下的學(xué)生存在理解題意的障礙，教師要啟發(fā)學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抓住通項，從函數(shù)的角度認識問題.

上述診斷分析確實使筆者大開眼界，實實在在地體會到明確課堂教學(xué)目標(biāo)、想清楚每一堂課到底要干什么的重要性，而且在如何圍繞教學(xué)目標(biāo)選擇和安排題目，設(shè)計教學(xué)活動時應(yīng)考慮的重點問題等方面都有了更加清晰的認識. 在此基礎(chǔ)上，筆者進行了教學(xué)再設(shè)計.

3 教學(xué)再設(shè)計

3.1 教學(xué)目標(biāo)

利用等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、項與和的關(guān)系、基本量、基本方法等，通過代數(shù)運算與變形實現(xiàn)化歸，解決遞推數(shù)列的通項及求和問題，進一步掌握化歸思想，提高運算求解能力.

修改意圖上述目標(biāo)的結(jié)構(gòu)是：復(fù)習(xí)的知識是“等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、項與和的關(guān)系、基本量、基本方法”，要解決的問題是“遞推數(shù)列的通項及求和問題”，內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法是“將一般的數(shù)列問題化歸為等差或等比數(shù)列”，能力是“運算求解能力”.這個目標(biāo)從知識、思想方法和能力等三個方面給出，直接針對高考的要求，并且是可操作、可檢測的.

3.2 例題選擇

例1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1,a2=2，Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*).

(1)證明：數(shù)列2an為等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn=2n-1,cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan},n=1,2,3,…，其中maxx1,x2,…,xi表示x1,x2,…,xi這i個數(shù)的最大的數(shù)，求數(shù)列cn的通項公式；

例2幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推，求該數(shù)列的前440項和．那么該款軟件的激活碼是什么？

修改意圖刪除與教學(xué)目標(biāo)不吻合的問題(3)，增加例2，旨在使學(xué)生能自覺應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列模型解決一般的數(shù)列求和問題.解決該問題需要經(jīng)過“觀察數(shù)列特征”、“確定數(shù)列模型”等過程，讓學(xué)生進一步體會化歸與轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)列問題中的作用.

4 課堂教學(xué)實踐

例題分析是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要過程．例題分析不是炫耀技巧，而是在講解通性通法的同時注重學(xué)生思維方式和能力的形成．下面我們先看兩個教學(xué)片斷．

4.1 “證明數(shù)列2an為等比數(shù)列”教學(xué)片斷

生1： 因為Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*)，所以(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1，即an+1-an=1(n≥2)，后略.

師：你是怎么想到這種解法的？

生1：直覺.

師：能不能嘗試把你的直覺描述出來？

生1：我看到了Sn+1+Sn-1=2Sn+1的系數(shù)特征并聯(lián)想到Sn+1-Sn=an+1,Sn-Sn-1=an.

師：非常好，直覺很重要，實際上它是在觀察問題的結(jié)構(gòu)特征、聯(lián)想相關(guān)知識而得到的. 思考數(shù)學(xué)問題要注意觀察題目結(jié)構(gòu)與運算特征. 上述過程嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

生1：漏了對n=1進行驗證.

師：這是易錯點，要注意解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.還有其它解法嗎？

生2： 因為Sn+1+Sn-1=2Sn+1，n≥2①，Sn+2+Sn=2Sn+1+1②，②-①得an+2+an=2an+1，n≥2，后略.

師：這個轉(zhuǎn)化你是怎么想到的？

生2：以前做有關(guān)Sn遞推式時，都是這么變形的.

師：哦，你是利用了已有的解題經(jīng)驗. 實際上，這是回到基本關(guān)系去思考問題. 注意經(jīng)驗的積累、方法的總結(jié)并固化為解題“模式”，對提高解題水平很重要. 還有其它解法嗎？

師：你又是怎么想到的？

生3：證明數(shù)列2an是等比數(shù)列，就是要證明比值是常數(shù).對an+1-an的變形，是根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)并聯(lián)系和與項的關(guān)系.

師：非常好，解題關(guān)鍵要有目標(biāo)意識，除了考慮已知條件怎么用之外，還要特別注意明確解題目標(biāo).

該問題的分析和解答，始終圍繞教學(xué)目標(biāo)中的“利用等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、項與和的關(guān)系、基本量、基本方法，通過運算或者是代數(shù)變形實現(xiàn)化歸，解決遞推數(shù)列的通項問題”而展開.在課堂教學(xué)中，學(xué)生所回答的三種解法都是解決數(shù)列問題的通性通法.

4.2 例2教學(xué)片斷

師：這是一個具有實際背景的題目，它要求我們做什么？

生：數(shù)列求和．

師：從何看出？

生：激活碼就是求該數(shù)列的前440項和．

師：非常好，解題首先要把目標(biāo)具體化．如何入手？

生：根據(jù)數(shù)列的特征.

師：該數(shù)列有什么特征？

生：我看出該數(shù)列是由很多組等比數(shù)列按個數(shù)不斷增加的規(guī)律排列的．

師：很多組，怎么處理？

生：可以先分組，求每組的和，看看有什么規(guī)律．

師：動手試試.后略.

該問題的難點之一在于如何把具有實際背景的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型來處理．筆者先問要做什么，意在明確解題方向；再問從何入手，是為了引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵詞句讀題、審題，充分理解題意.本題先按等比數(shù)列分組再求解，難度較高，筆者讓學(xué)生嘗試、摸索，而后與學(xué)生共同分析，尋找解題策略.

5 教學(xué)后記

經(jīng)過本節(jié)課的教學(xué)研討和課堂實踐后的反思，筆者認為，高三綜合復(fù)習(xí)課應(yīng)重視以下三個方面：

(1)明確目標(biāo) 找準(zhǔn)方向

準(zhǔn)確制訂教學(xué)目標(biāo)是提高教學(xué)質(zhì)量和效益的前提，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)具體、明確、合理.制訂高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)，要以《考試大綱》和《考試說明》為航標(biāo)，從中明確考試的知識范圍和要求，把握復(fù)習(xí)的正確方向；要以歷年高考試題為載體，從每道題所涉及到的數(shù)學(xué)知識、思想方法和數(shù)學(xué)能力等角度構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，確定復(fù)習(xí)的落腳點；要以學(xué)生為主體，對學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生所欠缺的思想方法和能力等形成立體化認識，把握復(fù)習(xí)的可行性．總結(jié)本堂課的成功經(jīng)驗，反思以往高考復(fù)習(xí)中存在的問題，筆者最適切的感受就是：根據(jù)高考要求和本班學(xué)情認真制定每一堂課的教學(xué)目標(biāo)，對于提高復(fù)習(xí)效果具有根本的重要性.

(2)問題導(dǎo)向 精選例題

例題是實現(xiàn)目標(biāo)的載體，制定目標(biāo)屬于戰(zhàn)略問題，選擇例題是戰(zhàn)術(shù)問題，恰當(dāng)?shù)睦}是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵．例題的選擇，應(yīng)以實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)為方向，以發(fā)展學(xué)生的思維能力為宗旨，以“少而精”為標(biāo)準(zhǔn)，利用有代表性的高考題或變式題，揭示出應(yīng)對高考問題所需要的數(shù)學(xué)知識、方法和能力等，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的應(yīng)試能力．正如波利亞所說：“專心、認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”．

(3)夯實雙基 學(xué)會思考

高三復(fù)習(xí)課的核心是要通過例題的分析、習(xí)題演練，達到夯實雙基、學(xué)會思考的目的．例題教學(xué)要注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，讓學(xué)生面對高考題時想到解題方法，實現(xiàn)創(chuàng)造性地解題；例題講解的一般過程應(yīng)為：“讀題→思考→交流題意的理解→教師點評，適當(dāng)歸納→學(xué)生解題→教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題，有針對性地講解→解題反思，歸納提升”，教師的智慧在于根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)進程，恰時恰點地進行啟發(fā)和引導(dǎo)．

總之，高效的高三數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)課，教師應(yīng)在高考的價值取向下，向?qū)W生提供“有意義”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不是看似一道“好題”就可以了，同時還要從有效提升學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成解答任務(wù)的能力上加強思考；同時，教師要加強對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，讓學(xué)生置身于與高考真實場景相一致的問題情境下開展分析問題、解決問題的活動，突出知識的綜合貫通、觀點的歸納概括，體現(xiàn)思想方法的聯(lián)系，幫助學(xué)生學(xué)會思考，從而使系統(tǒng)掌握知識、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、提高數(shù)學(xué)能力整合在每一堂高考復(fù)習(xí)課中，并最終實現(xiàn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．