構造：讓解題突破思維瓶頸①

段志貴

(鹽城師范學院數學與統(tǒng)計學院 224002)

構造方法作為一種數學方法，能夠具體反映出在數學發(fā)現過程中所表現出來的創(chuàng)造性思維[1]．構造法解題的實質是根據數學問題的條件或結論的特征，用條件中的元素為“原件”，用已知數學關系為“支架”，構造出一種相關的數學對象、一種新的數學形式，從而使問題轉化并得到解決[2]．

不同于一般的邏輯方法，構造法屬于非常規(guī)思維．這一思維體現在當某些數學問題在使用通常辦法，按定勢思維去解決很難奏效時，依據問題的相關特征或性質，從新的角度，用新的觀點觀察、分析、解釋對象，抓住反映問題條件與結論之間的內在聯(lián)系，把握問題的背景、結構等關系上的特點，構造出滿足條件或結論的新的數學對象，或構造出一種新的問題形式．通過構造，使得原問題中隱晦不清的關系和性質在新構造的數學對象(或問題形式)中清楚地表現出來，從而突破思維瓶頸，借助該數學對象(或問題形式)簡捷地解決問題．

1 挖掘背景構造，讓解題思路明晰

許多問題的編擬都有一些特定的背景，要么是某個概念或數學公式，要么是某個已經解決了的實際問題，要么是一個基本思想的應用等[3]．有些問題,當孤立地運用題設條件難以獲得解題思路時,不妨把所考慮的問題置于特定的背景下,構造原題的原形,往往可得到簡捷巧妙的解法．構造法往往要通過仔細觀察、分析，去發(fā)現問題各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件，因此構造法體現了發(fā)現的思想．

例1已知a，b，c，x都是實數, 且a

分析x-a的幾何意義是，在數軸上表示x與a兩數之間的距離，因此要求x-a+x-b+x-c的最小值就是要在數軸上找一點x,使其到a,b,c的距離之和最短．當x取在b以外的地方時，三條線段x-a，x-b，x-c都有重疊部分,所以當x取在b點時x-a+x-b+x-c有最小值，最小值為c-a.

分析構造數列模型

所以數列{an}為遞增數列．

故an>0(其中n∈N+)，即原不等式得證．

對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯(lián)系，這時可構造有關數列模型，利用其單調性解決．具體地說，欲證含有與自然數n有關的不等式f(n)>g(n)，可以構造數列模型an=f(n)-g(n)，證明數列{an}是單調遞增，且a1>0．當然本題也可以用數學歸納法或其它方法進行證明，但相比之下，用構造數列模型去證，顯然更為簡潔．

分析由題設條件，可以作一個三度(長度、寬度和高度)分別為cosα,cosβ,cosγ的長方體，原問題就可以建立在這個長方體內進行討論和證明了．

圖1

由于長方體一條對角線和與它過同一頂點的三條棱所成角的余弦值的平方和等于1，為此可構造一個長方體ABCD-A1B1C1D1，如圖1所示，使∠C1AD=α,∠C1AB=β,∠C1AA1=γ.設AD=a,AB=b,AA1=c，則

由基本不等式，得

2 數形轉換構造，讓解題云開霧散

數形結合是數學中常用的思想方法．在解題中，數與形的轉換經常用到．通過數形結合，構造某種數學形式，使條件與結論的關系很簡潔明了的展現出來，直觀、具體，從而使問題得到解決．

圖2

例4證明sin 5°+sin 77°+sin 149°+sin 221°+sin 293°=0.

分析此題若作為“三角”問題來處理，當然也可以證出來，但從題中的數量特征來看，發(fā)現這些角都依次相差72°，聯(lián)想到正五邊形的內角關系，由此構造一個正五邊形，如圖2所示．

這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現了題中角度的數量特征.需要解題者具有敏銳的觀察力與想象能力.如果沒有一定的建模訓練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的.

>sin2x+sin2y+sin2z

分析先化簡結論得

即

圖3

分析此題用常規(guī)方法求解，較為繁瑣，轉換思維視角，依條件構造解幾模型，可獲得新穎別致的解法．將原函數式變形為

圖4

3 透析結構構造，讓解題觸類旁通

構造法體現了類比的思想，為了找出解題途徑，要聯(lián)系已有知識中與之類似的或與之相關的問題，從而為構造模型提供參照對象．數學解題時,不妨先看看比比，察覺面對的問題與頭腦中的“已知”之間在結構、規(guī)律等方面的相似因素,通過聯(lián)想，類比構造出數學模型,找到解決問題的路徑．

分析此題x，y分離在兩個等式之中，看似無從著手，但深入研究已知條件，可以發(fā)現兩個等式有一些相似的地方．事實上，把第二個等式進行適當變形可得：

(2y)3+sin 2y+2a=0，

與x3+sinx-2a=0相比較，容易發(fā)現兩式結構相似，x和2y居于相同的“角色”．自然想到構造函數f(x)=x3+sinx，則兩個條件分別變?yōu)椋?/p>

f(x)=2a和f(2y)=-2a，即f(x)=-f(2y)，

因為函數f(x)=x3+sinx是奇函數，

所以有f(x)=f(-2y)，

f(x)是單調遞增的函數，

所以有x=-2y，即x+2y=0，

因此，cos(x+2y)=1.

主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標轉化為少數幾個綜合指標。在用統(tǒng)計方法研究多變量問題時，變量太多會增加計算量和增加分析問題的復雜性，人們希望在進行定量分析的過程中，涉及的變量較少，得到的信息量較多。希望用較少的變量去解釋原來數據中的大部分變量，將許多相關性很高的變量轉化成彼此相互獨立或不相關的變量。通常是選出比原始變量個數少，能解釋大部分數據中變量的幾個新變量，即所謂主成分，并用以解釋數據的綜合性指標。本文應用SPSS軟件針對表1所列15個指標應用主成分分析法分析，以找出15個指標中的內在聯(lián)系，并加以總結歸納。

通過化簡去掉了根號，即

4 運用化歸構造，讓解題沖出重圍

構造法還體現了化歸的思想，表現在把一個個零散的發(fā)現由表及里、由淺入深地集中和聯(lián)系起來，通過恰當的方法加以處理，化歸為已有的認識，自然形成了構造模型的方法．事實上，有些問題生疏隱晦，按其本來面目無從入手．這時，解題者應充分把握問題的本質，并對問題作一番提煉、抽象與純化，對其進行恰當賦義，化歸為一個全新的數學問題．新的數學問題往往超越了原問題的背景或意境，提供了更廣闊的思維空間，為問題最終獲得解決架設了一條通道.

所以函數的最大值為2,最小值為0.

可以看到，利用三角函數性質進行構造，可以巧妙地擺脫問題中根號帶來的困惑.

例11從6對老搭檔運動員中選派5名出國參賽，要求被選的運動員任意兩名都不是老搭檔，求有多少種不同的選派方法？

圖5

分析構造六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，如圖5所示，用6種不同的顏色給六棱柱的12個頂點染色，使得同一側棱的兩端點同色，用來表示一對老搭檔運動員．于是問題被巧妙地化歸為：求從12個著色點中任取5個不同色的點的不同取法即可．這可分兩個步驟完成：

故由分步乘法計數原理，完成這件事共有6×32=192種方法，即選派5名運動員共有192種方法．

例12求r元方程x1+x2+…+xr=n非負整數解的組數．

分析解決這個問題，我們可以設計一個適當的數學問題模型，把問題直接化歸到不重組合問題上，即：

把n個不加區(qū)分的球全部放入r個盒子里，每個盒子內的球數不限，也可以有空盒子，共有幾種不同放法？

設想n個球放在一條直線上，如圖6所示，在兩邊插上固定擋板A、B．然后利用r-1個活動板插入球與球或球與擋板之間的空隙(例如C、D、E…)．我們把從A板開始的每相鄰兩個擋板間的球數順次記為x1，x2,…,xr．這就是方程的一組解．

圖6

構造法解題的非常規(guī)性與創(chuàng)造性，使得常常需要非邏輯思維的參與，才能取得關鍵性的進展[5],因此，直覺、靈感、想像等思維活動在構造解題中往往不可或缺. 同時，上述構造策略的揭示與方法的選取，也只是為了討論問題的方便，具體解題時還需綜合考慮問題本身相關的多個因素．有的問題可以直接構造，有的則需要間接構造；有的需要構造條件，有的則需要構造反例；有的要考慮圖形的構造，有的則著力于變量間關系的構造．總言之，構造法解題并無定法，或許還要滲透著猜想、試驗、歸納、類比、分類等基本的問題解決策略.然后，構造法卻也是有規(guī)律可循的，相信通過深入剖析問題所給背景與結構，靈活采用數形結合、建?；瘹w等數學思想，借助于構造法，一定會突破思維瓶頸，為順利快捷地完成解題任務創(chuàng)造有利的條件，奠定堅實的基礎．