關(guān)注證明思路的獲得還要關(guān)注對(duì)證明的理解①
——以“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)為例

楊小麗

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的三個(gè)定理之一[1].鑒于它的重要性，也是各級(jí)各類(lèi)研究課常見(jiàn)的課題.通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)聽(tīng)課和查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)：大部分教師把本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定位在“讓學(xué)生從拼圖操作實(shí)驗(yàn)中獲得證明的思路及三角形內(nèi)角和定理的證明”，而證明三角形內(nèi)角和定理的思路大多都是通過(guò)“實(shí)物拼圖—留下痕跡—抽象圖形—理解圖形變化—分析提升”的途徑獲得.

這引發(fā)了筆者的思考：拼圖留痕是啟發(fā)學(xué)生找到證明思路的唯一策略嗎？學(xué)生會(huì)用什么方法說(shuō)明三角形內(nèi)角和定理的正確性？這節(jié)課除了啟發(fā)學(xué)生獲得證明思路和讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明定理，還應(yīng)該發(fā)展學(xué)生什么？為了回答上述問(wèn)題，對(duì)即將學(xué)習(xí)該節(jié)課的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研.

1 學(xué)生調(diào)研及結(jié)果

為了了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，在課前對(duì)任教班級(jí)40名學(xué)生開(kāi)展了調(diào)查.調(diào)查題目是：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，則∠C= . (2)解決問(wèn)題(1)的依據(jù)是什么？(3)這個(gè)結(jié)論一定正確嗎？為什么？

問(wèn)題(1)(2)所有學(xué)生均回答正確.對(duì)于問(wèn)題(3)，學(xué)生的理由如表1所示.[注]調(diào)查結(jié)果由文匯中學(xué)吳錦繡老師提供

表1 調(diào)研問(wèn)題(3)學(xué)生作答情況

對(duì)上述學(xué)生的作答進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三角形內(nèi)角和定理的證明，學(xué)生存在以下問(wèn)題：45%的學(xué)生沒(méi)有認(rèn)識(shí)到證明的必要性；32.5%的學(xué)生不清楚驗(yàn)證與證明的關(guān)系；15%的學(xué)生有證明的意識(shí)，但是證明過(guò)程中存在問(wèn)題；僅有3人(7.5%)思路方法正確，但其中2人不會(huì)敘述輔助線(xiàn)的作法.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)證明提出了如下要求：知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過(guò)程可以有不同的表達(dá)形式，會(huì)綜合法證明的格式[2].各版本教材[3][4]在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明之前也開(kāi)設(shè)了專(zhuān)門(mén)的章節(jié)學(xué)習(xí)命題、定理、證明的相關(guān)內(nèi)容.但學(xué)生的測(cè)試結(jié)果表明：雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形之前比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了命題、定理、證明的相關(guān)內(nèi)容，但絕大多數(shù)學(xué)生還不太明白證明的相關(guān)內(nèi)容，如：證明的必要性、證明的要求等.在證明中，要重視證明思路的探求過(guò)程；在證明后，要對(duì)證明的過(guò)程進(jìn)行反思，以達(dá)到對(duì)證明的理解[5].因此，幾何證明課的教學(xué)不僅要關(guān)注證明思路的獲得還要關(guān)注學(xué)生對(duì)證明的理解.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施

由前測(cè)可知，只有6名學(xué)生(15%)運(yùn)用了剪拼的方法說(shuō)明“三角形內(nèi)角和等于180°”，其余34名學(xué)生都有各自的想法，如果課上僅僅通過(guò)讓學(xué)生剪拼來(lái)探索證明思路，就忽視了其他大多數(shù)學(xué)生的想法.“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生”[2].因此，本節(jié)課并沒(méi)有刻意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行剪拼，而是關(guān)注到了所有學(xué)生的方法并進(jìn)行了討論交流.

下面呈現(xiàn)該節(jié)課的幾個(gè)主要活動(dòng).

活動(dòng)一：體會(huì)證明的必要性

問(wèn)題1：前幾天大家做了一份問(wèn)卷，老師發(fā)現(xiàn)大家都知道“三角形的內(nèi)角和等于180°”.而且大家還用這個(gè)結(jié)論解決了下面這個(gè)問(wèn)題：在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，∠C= .我們知道正確的結(jié)論才能作為推理的依據(jù)，你們的依據(jù)都是“三角形的內(nèi)角和等于180°”，是不是你們都認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的？你們能告訴老師為什么這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？

設(shè)計(jì)意圖結(jié)論的正確性需要通過(guò)演繹推理的確認(rèn)[2]，但前測(cè)結(jié)果表明：有31名學(xué)生(77.5%)并沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn),因此，需要讓這部分學(xué)生體會(huì)證明的必要性，并初步感受驗(yàn)證與證明的區(qū)別與聯(lián)系.通過(guò)問(wèn)題1，可以讓學(xué)生充分展示各種理由，如：小學(xué)老師講過(guò)、度量、剪拼等，教師通過(guò)追問(wèn)等方式對(duì)學(xué)生展示的方法逐一討論交流，發(fā)現(xiàn)上述方法都不能說(shuō)明“所有三角形的內(nèi)角和都等于180°”，需要進(jìn)行證明，由此體會(huì)證明的必要性，并初步感受驗(yàn)證與證明的區(qū)別與聯(lián)系.

活動(dòng)二：證明定理

問(wèn)題2：剛才我們討論的幾種方法都不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”那如何證明呢？請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試進(jìn)行證明，已經(jīng)證明出來(lái)的同學(xué)請(qǐng)思考有沒(méi)有別的方法.

設(shè)計(jì)意圖此處并沒(méi)有繼續(xù)討論課前調(diào)研中出現(xiàn)的其他方法，是希望給學(xué)生提供進(jìn)一步思考的機(jī)會(huì)，尤其是課前缺乏證明意識(shí)的那31名學(xué)生. 推理能力的獲得不是靠“傳授”得來(lái)的，而是在學(xué)生自主參與的推理活動(dòng)中“領(lǐng)悟”出來(lái)的.這是一個(gè)體驗(yàn)、探索的“再創(chuàng)造”過(guò)程，需要留給學(xué)生自主活動(dòng)的空白時(shí)間帶[6].在此期間，學(xué)生嘗試證明，教師巡視觀察.學(xué)生思考一定的時(shí)間后，依據(jù)學(xué)生的情況教師可給予一定的啟發(fā).

活動(dòng)三：交流證明方法、知道證明要合乎邏輯

設(shè)計(jì)意圖此處的證明方法，不僅指正確的方法，還包括學(xué)生采用的存在問(wèn)題的方法.無(wú)論是前測(cè)調(diào)研還是在課堂實(shí)際教學(xué)中，都有學(xué)生把“平行四邊形、長(zhǎng)方形或正方形的內(nèi)角和等于360°”作為證明依據(jù)，但無(wú)論用哪一個(gè)，在證明過(guò)程中都存在或多或少的問(wèn)題，如果課上不予以澄清，那么類(lèi)似的問(wèn)題會(huì)一再出現(xiàn)，不利于發(fā)展學(xué)生對(duì)證明的理解.

本活動(dòng)就是希望通過(guò)對(duì)不同方法的討論交流，引導(dǎo)學(xué)生反思并意識(shí)到自己證明過(guò)程中存在的問(wèn)題，從而明確數(shù)學(xué)證明的要求：第一，出發(fā)點(diǎn)正確；第二，推理過(guò)程正確.而判斷選用的出發(fā)點(diǎn)是否正確有以下途徑：是否是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等,如果不是，則需要經(jīng)過(guò)推理，才能進(jìn)行判斷. 此外，在推理過(guò)程中，要注意不能用特殊代替一般，否則就會(huì)出現(xiàn)邏輯推理錯(cuò)誤.

學(xué)生的主要方法如圖1-4所示.

圖1

圖2

圖3

圖4

第1，2種方法(圖1、圖2)的討論交流此處不再贅述.需要特別說(shuō)明的是，注意引導(dǎo)學(xué)生將輔助線(xiàn)的添加與之前的操作、探索等活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生清楚操作、探索是啟發(fā)證明思路的有效手段，是證明過(guò)程中的重要環(huán)節(jié).當(dāng)然，僅靠操作、探索是不夠的，證明還需要經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程.

法3：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚?個(gè)內(nèi)角和為360°，由于對(duì)角線(xiàn)BD把平行四邊形分為兩個(gè)一樣的三角形，所以其中一個(gè)三角形的內(nèi)角和為360°÷2=180°.

師：平行四邊形的4個(gè)內(nèi)角和為360°這個(gè)結(jié)論正確嗎？

生：正確啊，小學(xué)學(xué)過(guò).

師：小學(xué)學(xué)過(guò)就一定正確嗎？

生：需要證明.過(guò)點(diǎn)D作DC∥AB，過(guò)點(diǎn)B作BC∥AD.因?yàn)镈C∥AB，所以∠A與∠ADC互補(bǔ)，∠ABC與∠C互補(bǔ)，所以∠A+∠ADC+∠ABC+∠C=360°.

師：對(duì)角線(xiàn)BD把平行四邊形分成的兩個(gè)三角形為什么一樣呢？

生1：因?yàn)镈C∥AB，所以∠A與∠ADC互補(bǔ)，所以∠A+∠ADC=180°；又因?yàn)镈C∥AB，所以∠1=∠2，所以∠A+∠2+∠3 =∠A+∠1+∠3=∠A+∠ADC=180°.

生2：因?yàn)镈C∥AB，所以∠A與∠ADC互補(bǔ)，所以∠A+∠ADC=180°，同理∠C+∠ADC=180°，所以∠A=∠C；因?yàn)镈C∥AB，所以∠1=∠2；因?yàn)锳D∥BC，所以∠3=∠4；所以∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=∠A+∠2+∠4+∠C+∠1+∠3=2(∠A+∠2+∠3)=360°，所以∠A+∠2+∠3=180°，即三角形的內(nèi)角和等于180°.

兩位學(xué)生雖然都沒(méi)能說(shuō)明為什么兩個(gè)三角形一樣，但在推理過(guò)程中，竟然都“意外”地完成了對(duì)“三角形內(nèi)角和等于180°”的證明.事實(shí)上，生1的做法就是過(guò)點(diǎn)D作DC∥AB，利用“兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”的性質(zhì)完成了證明.在課堂中也有學(xué)生直接采用了這種證明方法.

教師接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生反思該題的證明過(guò)程，重點(diǎn)讓學(xué)生意識(shí)到：一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷；證明要做到兩點(diǎn)，即出發(fā)點(diǎn)正確、推理過(guò)程正確；證明的依據(jù)是教材中列出的基本事實(shí)和定義、定理、性質(zhì)等.

法4：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，所以長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°；又因?yàn)椤螦=∠ADC=90°，所以∠A與∠ADC互補(bǔ)，所以DC∥AB，所以∠1=∠2；同理可證BC∥AD，所以∠3=∠4，所以∠A+∠ADC+∠ABC+∠C=∠A+∠1+∠3+∠2+∠4+∠C=2(∠A+∠2+∠3)=360°，所以∠A+∠2+∠3=180°.

師：以上證明了什么結(jié)論？

生：任意直角三角形的內(nèi)角和是180°.

師：以上我們并沒(méi)有證明任意直角三角形的內(nèi)角和是180°，我們只證明了：長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)分成的兩個(gè)直角三角形，每一個(gè)的內(nèi)角和都是180°.那任意的直角三角形，是不是都能成為某一長(zhǎng)方形用對(duì)角線(xiàn)分成的直角三角形呢？

師：我們需要從任意的直角三角形出發(fā)，做一個(gè)矩形，接下來(lái)的證明方法就和法3一樣了.

師：我們剛才證明了任意直角三角形的內(nèi)角和是180°，那我們?cè)疽C明的結(jié)論是什么？

生：三角形的內(nèi)角和等于180°.

師：我們證明了嗎？

生：沒(méi)有.我們只證明了任意直角三角形的內(nèi)角和等于180°.

師：那問(wèn)題出在哪？

生：證明的時(shí)候用的是直角三角形，而不是任意三角形.

師：嗯，同學(xué)們說(shuō)得對(duì)，問(wèn)題在于，我們證明的時(shí)候用直角三角形這個(gè)特殊的三角形代替了一般三角形進(jìn)行推理，混淆了特殊和一般的關(guān)系.今后遇到類(lèi)似問(wèn)題的時(shí)候需要特別注意.

師：下面我們來(lái)看下一種方法，根據(jù)正方形的內(nèi)角和等于360°來(lái)進(jìn)行證明.

生：老師，這個(gè)方法不行，犯了和上面一樣的錯(cuò)誤，它不能證明任意三角形的內(nèi)角和等于180°，只能證明任意等腰直角三角形的內(nèi)角和等于180°.

3 教學(xué)后學(xué)生調(diào)研及結(jié)果

本節(jié)課課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，題目如下：四邊形的內(nèi)角和是________，為什么？所有學(xué)生第一小問(wèn)均回答正確，但第二小問(wèn)的回答具有較大差異，第二小問(wèn)的測(cè)試結(jié)果如表2所示.[注]調(diào)查結(jié)果由文匯中學(xué)吳錦繡老師提供

表2 后測(cè)題學(xué)生作答情況

圖5

圖6

圖7

對(duì)比前后測(cè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：相比課前，學(xué)生對(duì)證明的意義和必要性的認(rèn)識(shí)有了大幅度的提高，由課前的22.5%提高到了85%；但在證明過(guò)程中，仍有60%的學(xué)生出現(xiàn)了邏輯推理錯(cuò)誤，用特殊四邊形代替一般四邊形進(jìn)行了證明.

4 教學(xué)啟示

4.1 加深對(duì)推理與證明的認(rèn)識(shí)

推理是對(duì)命題的判斷，是從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過(guò)程[7].邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng)[8].本質(zhì)上只有兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理[7].歸納推理是一種從特殊到一般的推理，包括不完全歸納法、類(lèi)比法、簡(jiǎn)單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等.演繹推理是一種從一般到特殊的推理，包括三段論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.數(shù)學(xué)證明是根據(jù)命題的條件和已知的定義、公理、定理，借助演繹推理，驗(yàn)證那些通過(guò)歸納推理得到的結(jié)論.數(shù)學(xué)證明能加深對(duì)概念和定理的理解、訓(xùn)練和培養(yǎng)邏輯思維能力、發(fā)展理性精神.

許多人會(huì)把數(shù)學(xué)的推理等同于數(shù)學(xué)的證明，因?yàn)閿?shù)學(xué)證明的思維過(guò)程依賴(lài)的是演繹推理，于是認(rèn)為數(shù)學(xué)推理就是演繹推理，甚至認(rèn)為邏輯推理就是演繹推理，這種認(rèn)識(shí)是不全面的，甚至對(duì)于數(shù)學(xué)教育還是有害的[7].英國(guó)數(shù)學(xué)教育家赫斯認(rèn)為：對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是一切教學(xué)法的根.因此，建議教師首先要加深對(duì)推理與證明的認(rèn)識(shí)，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.2 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的了解

如果沒(méi)有對(duì)學(xué)生進(jìn)行課前調(diào)研，本節(jié)課最終的設(shè)計(jì)也許就只有一種方式了：讓學(xué)生撕紙拼圖，然后在教師的引導(dǎo)下留下拼圖痕跡從而獲得輔助線(xiàn)的添加方法，之后更多關(guān)注的是證明的技巧.但前測(cè)結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)：92.5%的學(xué)生對(duì)證明的認(rèn)識(shí)和理解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.既然學(xué)生對(duì)證明的理解存在問(wèn)題，那本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)就應(yīng)該有所調(diào)整，應(yīng)該把鼓勵(lì)學(xué)生用各種方式獲得證明的思路、發(fā)展學(xué)生對(duì)證明的理解作為本節(jié)課的重難點(diǎn)之一.

課堂教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)、決策、組織與實(shí)施均建立在教師對(duì)學(xué)情認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，而教師對(duì)學(xué)情認(rèn)知的理念與水平?jīng)Q定了教學(xué)的走向與質(zhì)量[9].因此，建議教師課前加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的了解，在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)活動(dòng)的合理性，從而增加教學(xué)的針對(duì)性及有效性.

4.3 關(guān)注學(xué)生對(duì)證明的理解

在以往這節(jié)課的教學(xué)中，教師關(guān)注較多的是拼圖留痕獲得證明思路以及證明方法的多樣性.但通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)研和教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題不僅僅只是證明思路的獲得，發(fā)展學(xué)生對(duì)證明的理解是更為迫切和重要的任務(wù).

進(jìn)一步通過(guò)后測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，雖然課上進(jìn)行了針對(duì)性地講解，但依然有60%的學(xué)生在后測(cè)中出現(xiàn)了邏輯錯(cuò)誤：用平行四邊形、矩形或正方形代替一般四邊形進(jìn)行推理，混淆了特殊和一般的關(guān)系.溫建紅等學(xué)者選取蘭州市某學(xué)校九年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生大多數(shù)的錯(cuò)誤證明都是由不正確的邏輯推理所致[10].這都說(shuō)明，學(xué)生對(duì)證明的理解、 邏輯推理能力的發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的

過(guò)程，不可能通過(guò)一兩節(jié)課的教學(xué)就有明顯的提高.因此，建議教師把發(fā)展學(xué)生對(duì)證明的理解、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力作為教學(xué)的長(zhǎng)期目標(biāo)，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中.