2018年高考數(shù)學(xué)文化試題的評(píng)析與教學(xué)建議

李汝雁 郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 241000)

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展，其主要涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.[1]《2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容》中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科明確提出了“增加數(shù)學(xué)文化”的要求.[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透”和“斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審關(guān)價(jià)值”作為高中數(shù)學(xué)課程基本理念之一.[3]彰顯數(shù)學(xué)文化的命題在高考中也就尤為必要.對(duì)2018年高考數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行剖析，一方面為后續(xù)高考命題者命制出素材更加豐富和題型更加新穎的試題提供啟發(fā).另一方面，為廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師更合理地利用教材進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的教學(xué)提供可借鑒的方法.

1 數(shù)學(xué)文化試題評(píng)析

據(jù)統(tǒng)計(jì)，2018年的13套高考試卷中有8套試卷出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化試題共6道，為了更直接地體會(huì)高考試卷中的數(shù)學(xué)文化試題，列表如下(表1)：

表1 2018年高考試卷中數(shù)學(xué)文化試題

從上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出2018年的數(shù)學(xué)文化試題存在如下特征：第一，從題型來(lái)看，均為選擇題和填空題，未涉及到計(jì)算題與證明題；第二，從知識(shí)點(diǎn)的分布來(lái)看，涉及數(shù)列、概率、三視圖等；第三，從題目來(lái)源來(lái)看，包括以《九章算術(shù)》、《張邱建算經(jīng)》等中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作中的數(shù)學(xué)名題，以及國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系和實(shí)際生產(chǎn)生活的內(nèi)容等為背景.

通過對(duì)2018年高考試卷的分析，發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)文化試題的命制來(lái)源有以下幾種，下面分別展開論述.

1.1 以國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果為背景

(全國(guó)Ⅰ卷(理)10)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

A．p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

評(píng)析：本題從題目條件和問題來(lái)看，一般會(huì)直接采用幾何概型計(jì)算概率的方法求解，但是，作為選擇題，在考場(chǎng)上，這樣的方法顯然有些復(fù)雜.這道題表面上是計(jì)算概率，實(shí)際上，如果學(xué)生清楚“希波克拉底定理”的內(nèi)容，那么，問題就迎刃而解了.希波克拉底定理：“以直角三角形兩條直角邊向外做兩個(gè)半圓，以斜邊向內(nèi)做半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙型面積之和等于該直角三角形的面積.”[4]根據(jù)定理內(nèi)容，即可知答案為A.

(2)陳景潤(rùn)與哥德巴赫猜想

(全國(guó)Ⅱ卷(理)8)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是

評(píng)析：本題是以我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得世界領(lǐng)先成果為背景的一道古典概率計(jì)算問題，題目難度不大，目的是使考生潛移默化地感受我國(guó)數(shù)學(xué)取得的成就.不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，可能的情況有45種，其和等于30的組合有7和23，11和19，13和17，共3組，所以答案為A.

1.2 以中國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)史料中的數(shù)學(xué)名題為背景

(1)《九章算術(shù)》中的陽(yáng)馬幾何體

（4）志愿者得不到理解和尊重，地位不高。這一困境是由志愿者本身及社會(huì)環(huán)境內(nèi)外兩個(gè)因素共同造成的。內(nèi)在因素是志愿者本身存在以上三種倫理問題。外在因素是社會(huì)大眾的認(rèn)識(shí)及文化的影響。包括部分地方政府、相關(guān)企業(yè)單位對(duì)高校青年志愿服務(wù)活動(dòng)缺乏認(rèn)同和理解，把志愿服務(wù)理解為一種必須配合完成的“政治任務(wù)”，學(xué)生在服務(wù)過程中得不到真正的鍛煉，導(dǎo)致同學(xué)們參與志愿服務(wù)的動(dòng)力不足。同時(shí)，受中國(guó)傳統(tǒng)倫理和社會(huì)結(jié)構(gòu)的影響，當(dāng)個(gè)體面臨困難時(shí)，傾向于找到為自己負(fù)責(zé)的關(guān)系，而非求助于社會(huì)的公益事業(yè)，這種關(guān)系存在親疏遠(yuǎn)近，對(duì)沒有“關(guān)系”的人不信任，我們的青年志愿者往往被當(dāng)作“陌生人”被排除在這種“關(guān)系”之外。

(上海卷 15)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是( )

A.4 B.8 C.12 D.16

評(píng)析：此題來(lái)自于大約成書于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．其內(nèi)容包括方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，全書共有246個(gè)問題，每個(gè)問題均有給出相當(dāng)于數(shù)學(xué)公式的解答.本題以《九章算術(shù)》中的“陽(yáng)馬”幾何體為為背景，弘揚(yáng)了中國(guó)文化.內(nèi)容涉及空間點(diǎn)、直線、面的關(guān)系等，考察學(xué)生的空間想象能力，難度適中.根據(jù)題意可知，符合題目要求的面有4個(gè)，每一個(gè)都有4個(gè)頂點(diǎn)，所以選擇D.

(2)《張邱建算經(jīng)》中的“百雞問題”

評(píng)析：此題源于成書約公元5世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.“百雞問題”是《張丘建算經(jīng)》中的一個(gè)著名數(shù)學(xué)問題，它給出了由三個(gè)未知量的兩個(gè)方程組成的不定方程組的解.[5]本題以歷史名題為背景，賦予豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵.根據(jù)題中條件，解答相對(duì)較容易，只需將z=81帶入原方程組，得到二元一次方程組，求解得x=8，y=11.

1.3 以數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系為背景

朱載堉和“十二平均律”

1.4 以實(shí)際生產(chǎn)生活的內(nèi)容為背景

中國(guó)古建筑中的榫卯設(shè)計(jì)

(全國(guó)Ⅲ卷 理3文3)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

評(píng)析：本題以中國(guó)古建筑借助榫卯連接木構(gòu)件為背景，很好地考查了三視圖的相關(guān)內(nèi)容，考生需要先觀察卯眼的直觀圖，再想象其俯視圖，這和以往多數(shù)通過所給三視圖想象直觀圖的命題方式相比，確實(shí)增添了一些新意，另外也傳播了中國(guó)悠久的文明和智慧.題目整體來(lái)說比較簡(jiǎn)單，觀察圖形后可知其俯視圖為A.

2 數(shù)學(xué)文化教學(xué)建議

隨著數(shù)學(xué)文化類高考試題的應(yīng)運(yùn)而生，數(shù)學(xué)文化也因此漸入高中數(shù)學(xué)課堂.數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識(shí)體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力和素養(yǎng)等概念的高度概括.那么，我們?cè)撊绾伟褦?shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)呢？在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教學(xué)的可借鑒的方法有：講述數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事；介紹知識(shí)的起源和發(fā)展過程；建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系；尋找生活中的數(shù)學(xué).

2.1 講述數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性和邏輯性都很強(qiáng)的學(xué)科，如果缺乏形象性和生動(dòng)性.學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易覺得枯燥乏味，產(chǎn)生厭煩心理.在教學(xué)過程中，教師將一些有趣的或有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)家的故事融入教學(xué)活動(dòng)中，能夠吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.比如，三角學(xué)是在天文歷法中發(fā)展起來(lái)的，具有較為深遠(yuǎn)的歷史淵源，在講授這部分內(nèi)容時(shí)，為激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，教師可以嵌入一些相關(guān)的趣味史料.據(jù)說9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家比魯尼曾通過測(cè)量并使用三角學(xué)計(jì)算出了地球半徑.[7]

2.2 介紹知識(shí)的起源和發(fā)展過程

有些數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過程具有一定的人文背景，通過介紹知識(shí)的起源和發(fā)展過程，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，又可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)濃厚的歷史文化底蘊(yùn).例如在對(duì)數(shù)教學(xué)過程中，可以介紹納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)的歷史過程，當(dāng)時(shí)，哥白尼的“日心說”剛剛流行，天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)熱門學(xué)科.為了簡(jiǎn)化天文學(xué)中大量繁雜的計(jì)算，納皮爾經(jīng)過潛心研究，發(fā)明了對(duì)數(shù).[8]

2.3 建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

為了讓學(xué)生能夠更深刻的理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以嘗試將數(shù)學(xué)與歷史、科學(xué)、哲學(xué)、社會(huì)科學(xué)、藝術(shù)、音樂、文學(xué)、邏輯學(xué)等學(xué)科聯(lián)系.使得不同學(xué)科知識(shí)成為一個(gè)整體，學(xué)生也能夠更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).Edwards認(rèn)為，在高中階段，將文學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，可以提高學(xué)生的閱讀能力，促進(jìn)跨學(xué)科學(xué)習(xí).他在函數(shù)、統(tǒng)計(jì)、三角等知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)據(jù)分析方法檢驗(yàn)莎士比亞十四行詩(shī)；在講授統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，讓學(xué)生運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來(lái)研究莎士比亞是否是愛德華·德·維爾的筆名；并利用軟件統(tǒng)計(jì)莎士比亞詩(shī)句的長(zhǎng)度、出現(xiàn)的頻率等.該探究活動(dòng)激發(fā)了學(xué)生的濃厚興趣.[9]

2.4 尋找生活中的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一就是具有廣泛的應(yīng)用性.知識(shí)來(lái)源于生活，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以嘗試以實(shí)際生活為背景， 將數(shù)學(xué)知識(shí)融入學(xué)生身邊的

例子，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.Mahoney根據(jù)每個(gè)人的指紋以及掌心的曲線不一樣的，且這些曲線都對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的某種函數(shù)，包括多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)等設(shè)計(jì)了“掌上數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)此十分感興趣.[10]

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要，充分挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，將其滲透到日常教學(xué)中，就讓學(xué)生逐漸愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).但是，數(shù)學(xué)文化的滲透不能喧賓奪主，影響正常教學(xué)內(nèi)容的的學(xué)習(xí).如何把握滲透數(shù)學(xué)文化的“度”的問題，需要數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中仔細(xì)思考.